Задача 32107 Найти координаты точки, симметричной...

vk112862034

18 декабря 2018 г. в 22:01

Найти координаты точки, симметричной точке A = (6, —5, —9) относительно плоскости, заданной уравнением 2·x–1·y–3·z–2 = 0.

sova

18 декабря 2018 г. в 22:40

Составим уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости

При этом нормальный вектор плоскости n=(2;–1 ;–3) является направляющим вектором прямой.

(х–6)/(2)=(y+5)/(–1)=(z+9)/(–3)

Перейдем от этого уравнения к параметрическому:

(х–6)/(2)=(y+5)/(–1)=(z+9)/(–3) = t ⇒

x=2t+6
y=–t –5
z=–3t–9

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости

2·(2t+6)–1·(–t–5)–3·(–3t–9)–2=0

t=–3
При t=–3
x=0; y=–2; z=0

M(0;–2;0) – проекция точки А на плоскость.

По свойству симметричных точек,
АМ=МА₁

Поэтому
х_M=(x_A+x_A1)/2 ⇒(6+ x_A1)/2=0 ⇒ x_A1=–6
y_M=(y_A+y_A1)/2 ⇒ y_A1=1
z_M=(z_A+z_A1)/2 ⇒ z_A1=9

О т в е т. (–6;1;9)