Задача 27270 4.2.36. Через точку M(4; 3) проведена...

slava191

09.05.2018

4.2.36. Через точку M(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Найти точки пересечения этой прямой с осями координат.

SOVA

09.05.2018

★

Пусть прямая проходит через точки (0;b) и (a;0)
Составим уравнение прямой:
(x-0)/(а-0)=(y-b)/(0-b)
-bx=ay-ab
ay+bx-ab=0
Подставим координаты точки М (4;3) в уравнение
а*3+b*4-ab=0

По условию прямая отсекает от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3.
Треугольник прямоугольный.
Его катеты |а| и |b|

S = (1/2)|a|*|b| ⇒ 3 = (1/2)|ab| ⇒ |ab| = 6

⇒ ab = 6 или ab= - 6

Две системы уравнений
1)
{ab=6
{3a+4b-ab=0

3a+4b-6=0 ⇒ b = (6-3a)/4 и подставим в первое уравнение

a*(6-3a)/4 = 6
3а^2 - 6a +24=0
a^2-2a+8=0
D=4-32 < 0 уравнение не имеет корней, система не имеет решений.

2)
{ab= - 6
{3a+4b-ab=0

3a+4b+6=0 ⇒ b = (-6-3a)/4 и подставим в первое уравнение

a*(-6-3a)/4 = - 6
3а^2 + 6a - 24=0
a^2+2a - 8=0
D=4+32 = 36
a_(1)=(-2-6)/2=-4 или a_(2)=(-2+6)/2=2
тогда
b_(1)=-6/(-4)=3/2 или b_(2)=(-6)/2=-3

для точек (-4;0) и (0;3/2) уравнение прямой
-4y+(3/2)x+6=0
3х-8у+12=0

для точек (2;0) и (0;-3)
2y-3x+6=0
3х-2у-6=0
О т в е т.
3х - 8у +12 =0
Точки пересечения с осями координат
(-4;0) и (0;3/2)
или
3х-2у-6=0
Точки пересечения с осями координат
(2;0) и (0; -3)