Задача 41735 Написать уравнение плоскости, проходящей...

qwertyu

20 ноября 2019 г. в 12:23

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую (x–0,5)/(–2) = (y+3)/1 = (z+2,5)/3 и перпендикулярной к плоскости 3x+4y–5z–6 = 0

sova

20 ноября 2019 г. в 12:39

★

У плоскости нормальный вектор n=(3;4;–5)

У прямой направляющий вектор s=(–2;1;3)
и точка M_o (0,5;–3;–2,5)

Пусть M(x;y;z) – произвольная точка искомой плоскости
M_oM=(x–0,5;y+3;z+2,5)
Значит три вектора компланарны.
Условие компланарности – смешанное произведение равно 0

Смешанное произведение – определитель третьего порядка, составленный из координат векторов:
M_oM=(x–0,5;y+3;z+2,5)
n=(3;4;–5)
s=(–2;1;3)

[m]\begin{vmatrix} x-0,5 & y+3 &z+2,5 \\ 3& 4&-5 \\ -2&1 & 3 \end{vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель по правилу треугольника:

12·(x–0,5)+10·(y+3)+3·(z+2,5)+8·(z+2,5)+5·(x–0,5)–9·(y+3)=0

17·(x–0,5)+(y+3)+11·(z+2,5)=0

17x+y+11z+22=0 – о т в е т.