OT- средняя линия треугольника АРС
OT|| AP ⇒ OT || AA_(1)B_(1)B
2.
прямая l параллельна плоскости SPT
так как
PT- средняя линия Δ АВС
PT|| AC
прямая l пересекает OK ребро SC в точке К
OK || AC
Значит по свойству транзитивности
OK || PT ⇒ OK || пл. SPT
см. рис.
3.
В Δ SDC медиана SP соединяет вершину S c серединой противоположной стороны DC точкой P
K- точка пересечения медиан Δ SDC
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
SK:KP=2:1
Треугольники SEK и SBP подобны, так как угол общий и стороны пропорциональны.
Значит EK || BP ⇒ EK || ABCD в том числе и АВС.
4.
См. приложение 2
диагонали боковой грани AA_(1)B_(1)B
A_(1)B и AB_(1)
пересекаются в точке E
A_(1)B=AB_(1)=8 sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 8)
диагонали боковой грани СС_(1)B_(1)B
С_(1)B и СB_(1)
пересекаются в точке F
C_(1)B=CB_(1)=8 sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 8)
Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам
BE=BF=4 sqrt(2)
EF- средняя линия Δ BA_(1)C_(1)
EF=(1/2)A_(1)C_(1)=4
P( Δ BEF)= BE+EF+FB=4sqrt(2)+4+4sqrt(2)=4+8sqrt(2)
5.
Соединяем точки В_(1) и С; В_(1) и Т.
B_(1)C=6*sqrt(2) ( диагональ квадрата со стороной 6)
В_(1)Т=sqrt(6^2+3^2)=sqrt(36+9)=sqrt(45)=3sqrt(5)
Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.
Поэтому проводим
ТК || B_(1) C || A_(1)D
A_(1)D=B_(1)C=6sqrt(2)
ТK=(1/2)A_(1)D=3sqrt(2)
KC=sqrt(KD^2+DC^2)=3sqrt(5)
Р (КТВ_(1)С)=КТ+ТВ_(1)+В_(1)С+СК=3sqrt(2)+3sqrt(5)+6sqrt(2)+3sqrt(5)=
=9sqrt(2)+6sqrt(5)