Задача 40935 ...
Условие
Решение
[m]\frac{1}{(2х-1)(x^2-2x+17)}= \frac{A}{2х-1} + \frac{Mx+N}{x^2-2x+17}[/m]
1=A*(x^2-2x+17)+(Mx+N)*(2x-1)
1=(A+2M)x^2+(-2A-M+2N)x+17A-N
Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной:
1=0*x^2+0*x+1
A+2M=0 ⇒ [blue]A=2M[/blue]
-2A-M+2N=0 ⇒ -2*([blue]2M[/blue])-M+2*([blue]34M-1[/blue])=0
17A-N=1 ⇒ [blue]N[/blue]=17A-1=17*2M-1=[blue]34M-1[/blue]
63M=1 ⇒ M=[m]\frac{1}{63}[/m]
A=[m]\frac{2}{63}[/m]
N=[m]\frac{-29}{63}[/m]
∫ [m]\frac{1}{(2х-1)(x^2-2x+17)}dx[/m]=[m]\frac{2}{63}[/m] ∫ [m]\frac{dx}{2x-1}[/m] +[m]\frac{1}{63}[/m]∫[m] \frac{x-29}{x^2-2x+17}dx[/m]=
=[m]\frac{2}{63}\cdot \frac{1}{2}∫ \frac{d(2x-1)}{2x-1}[/m]+[m]\frac{1}{63}∫ \frac{x-29}{(x-1)^2+4^2}dx[/m]=
=[m]\frac{1}{63}ln|2x-1|[/m]+[m]\frac{1}{63}[/m]∫[m] \frac{t-28}{t^2+4^2}dt[/m]=
[m]=\frac{1}{63}ln|2x-1|+\frac{1}{63}∫ \frac{t}{t^2+4^2}dt-\frac{28}{63}∫ \frac{1}{t^2+4^2}dt[/m]=
=[m]\frac{1}{63}ln|2x-1|[/m]+[m]\frac{1}{126}ln|t^2+4^2|-\frac{7}{63}arctg\frac{t}{4}+C=[/m]
[m]\frac{1}{63}ln|2x-1|[/m]+[m]\frac{1}{126}ln|x^2-2x+17|-\frac{1}{9}arctg\frac{x-1}{4}+C[/m]