Задача 42060 Найти решение системы диф....
Условие
x'=y+2e^t
y'=x+t^2
Все решения
{y`(t)=x+t^2
Выразим из первого уравнения y и подставим во второе уравнение:
{y=x`(t)-2e^(t)
{(x`(t)-2e^(t))`=x+t^2
Решаем второе уравнение:
x``(t)-2e^(t)=x+t^2
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x``(t)-x=2e^t+t^2
Решаем однородное уравнение:
x``- x=0
Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-1=0
k_(1) = - 1; k_(2) =1 - корни действительные различные.
Общее решение однородного уравнения в случае когда корни действительные различные имеет вид:
y_(общее одн_=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
В данном случае:
x(t)_(общее одн)=C_(1)e^(-t)+C_(2)*e^(t)
Правая часть f(t)=f_(1)(t)+f_(2)t
Находим два частных решения
Первое соответствует
[b]f_(1)(t)=2e^(t)[/b]
и удовлетворяет уравнению:
x``(t)-x=2e^t
Так как k_(2)=[b]1[/b] и f_(1)(t)=e^([b]1[/b]*t)
то
y_(1 частное)= A*t*e^(t)
y`_(1 частное)=(At*e^(t))`=A*t`*e^(t)+A*t*(e^(t))`=Ae^(t)+At*e^(t)
y``_(1 частное)=(Ae^(t)+At*e^(t))`=(A*e^(t))`+(At*e^(t))=Ae^(t)+Ae^(t)+At*e^(t)=2Ae^(t)+A*t*e^(t)
Подставляем в уравнение:
x``(t)-x=2e^(t)
2Ae^(t)+A*t*e^(t)-Ae^(t)=2e^(t)
[b]A[/b]e^(t)+A*t*e^(t)=[b]2[/b]e^(t)
не нравится, Ate^(t) должно было обнулиться???
A=2 ?
[blue]x_(1 частное)=2* e^(t)[/blue]
[b]f_(2)(t)=t^2[/b]
x_(2 частное)= Mt^2+Nt+P
x`_(1 частное)=2Mt+N
x``_(1 частное)=2M
Подставляем в уравнение:
2M-Mt^2-Nt-P=t^2
-M=1 ⇒ M=-1
-N=0
2M-P=0 ⇒ P=2M=-2
[blue]x_(2 частное)=-t^2-2[/blue]
[b]x(t)[/b]=x(t)_(общее одн)+[blue]x_(1 частное)[/blue]+[blue]x_(2 частное)[/blue]=
[b]C_(1)*e^(-t) +C_(2)*e^(t)+2*t*e^(t)-t^2-2[/b]
Подставляем в первое уравнение
[b]y(t)[/b]=x`(t)-2e^(t)[b]=C_(1)*e^(-t) +C_(2)*e^(t)+2*t*e^(t)-t^2-2-2*e^(t)[/b]