Задача 41698 Сколько существует трехзначных...

h6rdw0rk

2019-11-19 17:21:05

Сколько существует трехзначных натуральных чисел n для которых число n^3-n^2 является точным квадратом.

sova

2019-11-19 19:23:04

★

n^2*(n-1)=k^2
Если n-1=1, то
n^2=k^2
т.е.
при n=2
2^3-2^2=2^2 - верно


n^3-n^2=k^2
k, n ∈ [b]N[/b]

n^3=k^2-n^2

n^3=(k-n)*(k+n)


n*n*n=(k-n)*(k+n)

либо
{k-n=n^2 ⇒ k=n^2+n ⇒ k=n*(n+1)
{n=k+n ⇒ k=0
что невозможно, так как k, n ∈ [b]N[/b]

либо
{k-n=n ⇒ k=2n тогда
{k+n=n^2 ⇒ 2n+n=n^2 ⇒ 3n=n^2 ⇒ n^2-3n=0 ⇒ n=0 или n=3

0 ∉ [b]N[/b]

При n=3
3^3-3^2=18 не является квадратом

О т в е т. при n=2