Задача 16795 Решите неравенство (81^x-2*9^(x+1)+80) /...
Условие
Решение
9x=t;
t > 0.
9x+1=9x·9=9t;
81x=(92)x=(9x)2=t2.
Неравенство принимает вид:
(t2–18t+80)/(t2–12t+32) ≤ ((t–15)/(t–4)) + (2/(t–7));
переносим все слагаемые влево и приводим дроби к общему знаменателю.
t2–12t+32=(t–4)(t–8)
((t–7)·(t2–18t+80)–(t–7)·(t–8)(t–15)–2·(t–4)(t–8))/(t–4)(t–7)(t–8) ≤ 0;
3·(t2–17t+72)/(t–4)(t–7)(t–8) ≤ 0;
3·(t–8)(t–9)/(t–4)(t–7)(t–8) ≤ 0.
Применяем метод интервалов.
_–__ (4) __+__ (7) __–__ (8) __–__ [9] __+__
t < 4 или 7 < t < 8 или 8 < t ≤ 9
Учитывая, что t > 0
0 < t < 4 или 7 < t < 8 или 8 ≤ 9
Возвращаемся к переменной х:
0 < 9x < 4 или 7 < 9x < 8 или 8 < 9x ≤ 9
Так как 9x > 0 при любом х, то
x < log94 или log97 < x < log98
или log98 < x ≤ 1
О т в е т. (– ∞;log94)U(log97;log98)U(log98;1]