Задача 16795 Решите неравенство (81^x-2*9^(x+1)+80) /...
Условие
Решение
9^x=t;
t > 0.
9^(x+1)=9^x*9=9t;
81^x=(9^2)^x=(9^x)^2=t^2.
Неравенство принимает вид:
(t^2-18t+80)/(t^2-12t+32) меньше или равно ((t-15)/(t-4)) + (2/(t-7));
переносим все слагаемые влево и приводим дроби к общему знаменателю.
t^2-12t+32=(t-4)(t-8)
((t-7)*(t^2-18t+80)-(t-7)*(t-8)(t-15)-2*(t-4)(t-8))/(t-4)(t-7)(t-8) меньше или равно 0;
3*(t^2-17t+72)/(t-4)(t-7)(t-8) меньше или равно 0;
3*(t-8)(t-9)/(t-4)(t-7)(t-8) меньше или равно 0.
Применяем метод интервалов.
_-__ (4) __+__ (7) __-__ (8) __-__ [9] __+__
t < 4 или 7 < t < 8 или 8 < t меньше или равно 9
Учитывая, что t > 0
0 < t < 4 или 7 < t < 8 или 8 меньше или равно 9
Возвращаемся к переменной х:
0 < 9^x < 4 или 7 < 9^x < 8 или 8 < 9^x меньше или равно 9
Так как 9^x > 0 при любом х, то
x < log_(9)4 или log_(9)7 < x < log_(9)8
или log_(9)8 < x меньше или равно 1
О т в е т. (- бесконечность;log_(9)4)U(log_(9)7;log_(9)8)U(log_(9)8;1]