Задача 33176 ...

vk300508730

2019-01-31 19:16:44

Из концов диаметра АВ окружности Ω проведены хорды АС и ВD. Эти хорды пересекаются в точке М. Известно, что величина AC⋅AM+BD⋅BM равна 169, а косинус угла AMB равен −0,3. Какое наибольшее значение может принимать произведение AM⋅BM

sova

2019-01-31 20:58:56

∠ ADB=90^(o), как угол, опирающийся на диаметр
∠ ACB=90^(o), как угол, опирающийся на диаметр

∠ АСВ = ∠ АВD, как углы, опирающиеся на дугу AD
∠ СAВ = ∠ CDB, как углы, опирающиеся на дугу BC

Треугольники СMD и BMA подобны по двум углам.
Из подобия
[b]DM: AM= CM: BM⇒ DM=k*AM и CM=k*BM[/b]



Так как
AC=AM+MC;
BD=BM+MD
и
AC*AM+BD*BM=169, то
(AM+MC)*AM+(BM+MD)*BM=169
и так как
DM=k*AM ;
CM=k*BM
то
AM^2+(k*BM)*AM+BM^2+BM*(k*AM)=169

AM^2+2*kAM*BM+BM^2= 169
а по теореме косинусов из треугольника АМВ

AB^2=AM^2+BM^2-2*AM*BM*cos ∠ АМВ

???