Задача 45616 Производство некоторого товара...

slava191

2020-03-30 12:45:24

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t_0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в 4 раза (до t1 = 4t_0), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара, объём производства товара составляет 12000 - 2t единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе? (з5)

sova

2020-03-30 15:52:15

★

Обозначим объем производства
V(t)=12 000 - 2t
Тогда
Q(t)=V(t)*t - налоговый сбор

Q(t)=(12 000 -2t)*t

Q(t)=12 000 t - 2t^2

Q`(t)=12 000 -4t

Q`(t)=0

12 000 - 4t=0

t= 3 000 - точка максимума функции Q(t)

Т. е налоговый сбор достигает максимума при t= 3 000 руб за единицу продукции.

При t=t_(o) налоговые собры составили:

Q(t_(o))=12 000 t_(o) - 2t^2_(o)

При t_(1)=4t_(o) налоговые собры составили:

Q(t_(1))=12 000*4*t_(o) - 2(4t_(o))^2=48 000*t_(o) - 32 t^2_(o)

По условию [i]сумма налоговых поступлений не изменилась[/i]

Q(t_(o))=Q(t_(1))

12 000 t_(o) - 2t^2_(o)=48 000*t_(o) - 32 t^2_(o)

30t^2_(o)-36 000 t_(o)=0

6t_(o)*(5t_(o)-6 000)=0

t_(o)=1 200

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере
1 200 рублей за единицу товара.
Государство увеличило налог в 4 раза (до 4*1 200=4 800 рублей)

А максимум достигается при t= 3 000 руб.

Значит надо уменьшить налог в размере 4 800 руб за единицу до налога в размере 3 000 руб за единицу .

4 800 руб составляют 100%
3 000 руб составляют p %

p=62,5%

100%-62,5%=37,5%

О т в е т уменьшить на 37,5%