Задача 38095 y"-4y'+4y=x^2+2*e^2x...
Условие
Все решения
y``-4y`+4y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+4=0
(k-2)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=2
y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y= C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=x^2+2e^(2x)
f_(1)(x)=x^2
y_(частное1 неоднородного)=Аx^2+Bx+C
y`_(ч. 1н)=2Ах+В
y``_(ч.1н)=2A
Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=x^2
2A - 4*(2Ax+B)+4*(Ax^2+Bx+C)=x^2
4Ax^2+(4B-8A)x+2A-4B+4C=x^2
4А=1
А=1/4
4B-8A=0
B=2A=1/2
2A-4B+4C=0
C=3/8
[b]y_(частное1 неоднородного)=(1/4)x^2+(1/2)x+(3/8)[/b]
f_(2)(x)=2e^(2x)
2 - корень характеристического уравнения кратности 2
y_(частное2 неоднородного)=Mx^2e^(2x)
y_(ч. 2н)=2Mх*e^(2x)+2Mx^2*e^(2x)
y``_(ч.2н)=2Me^(2x)+4Mxe^(2x)+4Mxe^(2x)+4Mx^2e^(2x)=
=4Mx^2e^(2x)+8Mxe^(2x)+2Me^(2x)
Подставляем в уравнение
y``-4y`+4y=2e^(2x)
4Mx^2e^(2x)+8Mxe^(2x)+2Me^(2x)-4*(2Mх*e^(2x)+2Mx^2*e^(2x))+4Mx^2e^(2x)=2e^(2x)
2Me^(2x)=2e^(2x)
M=1
[b]y_(частное2 неоднородного)=e^(2x)[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн1 неодн)+у_(частн2 неодн)
y= [b]C_(1) e^(2x)+C_(2)*xe^(2x) + (1/4)x^2+(1/2)x+(3/8) + e^(2x)[/b]
