Cоставляем уравнение прямой АВ:
(х–xA)/(xB–xA)=(y–yA)/(yB–yA)
(х–4)/(16–4)=(y–3)/(–6–3)
–3(х–4)=4(у–3)
y=–3x+24
kAB=–3
CD ⊥ AB ⇒ kCD·kAB=–1
kCD=1/3
y=(1/3)x + b
Чтобы найти b подставим координаты точки С
16=(1/3)·20+b
b=28/3
y=(1/3)x + (28/3) – уравнение СD
Длина СD равна расстоянию от точки С(20;16) до прямой АВ:
y=–3x+24 или 3х+у–24=0
CD=d=|3·20+16–24|/√32+1=52/√10
2)
Находим координаты точки М – cередины ВС
xМ=(xB+xС)/2=(16+20)/2=18
yМ=(yB+yС)/2=(–6+16)/2=5
Cоставляем уравнение прямой АM:
(х–xA)/(xM–xA)=(y–yA)/(yM–yA)
(х–4)/(18–4)=(y–3)/(5–3)
2(x–4)=14(y–3)
(x–4)=7(y–3)
x–7y+17=0 – уравнение медианы АМ
|AM|=√(xM–xA)2+(yM–yA)2=
=√(18–4)2+(5–3)2=√324+4=√328=2√82
3)
Угол между прямыми CD и AM
kCD=1/3 ⇒tg α =1/3
kAM=1/7 ⇒ tg β =1/7
tg( α – β )=(tg α –tg β )/(1+tg α ·tg β )=((1/3)–(1/7))/(1+(1/3)·(1/7))=
=4/22=2/11
∠ (CD, AM)=arctg (2/11)
4) BH ⊥ AM
kAM=1/7 ⇒ kBH=–7
y=–7x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки В
–6=(16/7)+b
b= – 58/7
y =–7x – (58/7) – уравнение ВН
Найдем координаты точки Н.
{x–7y+17=0
{y =–7x – (58/7)
x – 7·(–7x–(58/7))=0
x+49x+58=0
x=–58/50
x=–29/25
y=–7·(–29/25)–(58/7)
y=(7·29·7 –58·25)/(25·7)=–29/175
H(–29/25; –29/175)
5) AC=(20–4;16–3)=(16;13) – направляющий вектор искомой прямой
Cоставляем уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором AC
(х–xB)/16=(y–yB)/13
(х–16)/16=(у+6)/13
13(х–16)=16(у+6)
13х–16у–304=0