Задача 31997 ...

sova

2018-12-17 16:14:16

1) CD ⊥ AB
Cоставляем уравнение прямой АВ:
(х–x_(A))/(x_(B)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(B)–y_(A))

(х–4)/(16-4)=(y–3)/(-6-3)

-3(х-4)=4(у-3)

y=-3x+24

k_(AB)=-3

CD ⊥ AB ⇒ k_(CD)*k_(AB)=-1
k_(CD)=1/3

y=(1/3)x + b

Чтобы найти b подставим координаты точки С
16=(1/3)*20+b

b=28/3
y=(1/3)x + (28/3) - уравнение СD

Длина СD равна расстоянию от точки С(20;16) до прямой АВ:
y=-3x+24 или 3х+у-24=0

CD=d=|3*20+16-24|/sqrt(3^2+1)=52/sqrt(10)

2)
Находим координаты точки М - cередины ВС

x_(М)=(x_(B)+x_(С))/2=(16+20)/2=18

y_(М)=(y_(B)+y_(С))/2=(-6+16)/2=5

Cоставляем уравнение прямой АM:
(х–x_(A))/(x_(M)–x_(A))=(y–y_(A))/(y_(M)–y_(A))

(х–4)/(18-4)=(y–3)/(5-3)

2(x-4)=14(y-3)
(x-4)=7(y-3)
x-7y+17=0 - уравнение медианы АМ

|AM|=sqrt((x_(M)–x_(A))^2+(y_(M)–y_(A))^2)=

=sqrt((18-4)^2+(5-3)^2)=sqrt(324+4)=sqrt(328)=2sqrt(82)

3)
Угол между прямыми CD и AM
k_(CD)=1/3 ⇒tg α =1/3
k_(AM)=1/7 ⇒ tg β =1/7

tg( α - β )=(tg α -tg β )/(1+tg α *tg β )=((1/3)-(1/7))/(1+(1/3)*(1/7))=

=4/22=2/11

∠ (CD, AM)=arctg (2/11)

4) BH ⊥ AM

k_(AM)=1/7 ⇒ k_(BH)=-7

y=-7x+b
Чтобы найти b подставляем координаты точки В
-6=(16/7)+b
b= - 58/7

y =-7x - (58/7) - уравнение ВН

Найдем координаты точки Н.
{x-7y+17=0
{y =-7x - (58/7)

x - 7*(-7x-(58/7))=0
x+49x+58=0
x=-58/50
x=-29/25
y=-7*(-29/25)-(58/7)
y=(7*29*7 -58*25)/(25*7)=-29/175

H(-29/25; -29/175)

5) vector{AC}=(20-4;16-3)=(16;13) - направляющий вектор искомой прямой

Cоставляем уравнение прямой, проходящей через точку В с направляющим вектором vector{AC}

(х–x_(B))/16=(y–y_(B))/13

(х-16)/16=(у+6)/13

13(х-16)=16(у+6)
13х-16у-304=0