Задача 31994 Найти производную функции...

yanabas

2018-12-16 17:07:15

Найти производную функции u=xz^4/y+xzy^5+y/z^2 в точке М (1,1,-1) по направлению идущему от этой точки к точке Р(3,-5,2). Направляющие косинусы вектора MP и значение производной по направлению.

sova

2018-12-17 15:13:21

vector{MP}=(3-1;-5-1;2-(-1))=(2;-6;3)
|vector{MP}|=sqrt(2^2+(-6)^2+3^2)=sqrt(49)=7

Направляющие косинусы
cos α =2/7
cos β= -6/7
cos γ =3/7

Частные производные
u`_(x)=(z^4/y)+(zy^5)
u`_(y)=(-xz^4/y^2)+5xzy^4+(1/z^2)
u`_(z)=(4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3)

Производная по направлению вектора vector{MP}

u`_(vector{MP})=u`_(x)*cosα +u`_(y)*cosβ +u`_(z)*cosγ

u`_(vector{MP})=((z^4/y)+(zy^5))*(2/7) +((-xz^4/y^2+5xzy^4+(1/z^2))*(-6/7)+((4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3))*(3/7)

Частные производные в точке M
u`_(x)(M)=(z^4/y)+(zy^5)=1-1=0
u`_(y)(M)=(-xz^4/y^2)+5xzy^4+(1/z^2)=-1+5+1=5
u`_(z)(M)=(4xz^3/y)+xy^5 -(2y/z^3)=-4+1+2=-1

u`_(vector{MP})(M)=0*(2/7) +5*(-6/7)+(-1)*(3/7)=-33/7