Задача 45337 решить однородное ДУ (y-x)dx+(y+x)dy=0...

vk137909528

2020-03-25 16:06:14

решить однородное ДУ
(y-x)dx+(y+x)dy=0

sova

2020-03-25 17:37:08

y/x=u
y=xu
dy=udx+xdu

(xu–x)dx+(xu+x)(udx+xdu)=0

(u–1)xdx+x(u+1)udx+x^2(u+1)du=0

x(u–1+u^2+u)dx=-x^2(u+1)du- уравнение с разделяющимися переменными

(u^2+2u-1)dx=-x(u+1)du

dx/x=-(u+1)du/(u^2+2u-1)

Интегрируем:
∫ dx/x=- ∫ (u+1)du/((u+1)^2-2), t=u+1

∫dx/x=- ∫ tdt/(t^2-2)

ln|x|=-(1/2)ln|t^2-2+lnC

ln|x|=lnC-lnsqrt(u^2+2u-1)

x=C/sqrt(u^2+2u-1)

u=y/x

[b]x=C/sqrt((y/x)^2+(2y/x)-1)[/b]