Задача 30076 Помогите решить пожалуйста: определить...

u19422813205

2018-10-09 00:51:50

Помогите решить пожалуйста:

определить является ли функция f(x)= x+1/x-2 обратимой, найти обратную функцию и построить ее график

sova

2018-10-09 13:01:59

★

Функция обратима, если каждое свое значение принимает только один раз.
Такая функция должна быть монотонно возрастающей или монотонно убывающей.

Область определения данной функции:
(- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

Функция монотонно убывающая, так как
y`=(1*(x-2)-(x+1))/(x-2)^2=-3/(x-2)^2 < 0
на (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )

Значит, обратима.

Меняем х на у, у на х

x=(y+1)/(y-2)

Выражаем у через х:

у+1 = ху -2х;

1+2х=у*(х-1)

у=(1+2х)/(х-1)

График - гипербола. См. рис.1

На рис. два построены два графика

y=(x+1)/(x-2) ( cинего цвета)


у=(1+2х)/(х-1) ( красного цвета)

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатых углов ( прямая у=х - зеленого цвета)