Задача 40687 ...

vk230418226

18 октября 2019 г. в 03:16

В равностороннем треугольнике abc: CD–высота, AC=1.
Найдите скалярное → →
произведение BC·CD ​

sova

18 октября 2019 г. в 09:25

★

Δ АВС – равносторонний, значит АВ=ВС=АС=1; ∠ A= ∠ B= ∠ C=60 °

Высота СD является и медианой, значит BD=DA=[m]\frac{1}{2}[/m]

и биссектрисой, значит ∠ BCD= ∠ ACD=30 °

По определению скалярное произведение векторов, выходящих из одной точки равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Перенесем начало вектора CD в точку B.
BK=CD
|BK|=|CD|=[m]\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

Тогда угол между векторами BC и BK равен 150 °

cos150 ° =cos(180 ° – 30 °) =–cos30 ° =[m]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

BС·СD=BС·BK=|BC|·|BK|·cos150 ° =[m]1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{4}[/m]