Задача 29903 Маша и Наташа делали фотографии в...
Условие
n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1001 фотографию больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
а) Могли ли они фотографировать в течение 7 дней?
б) Могли ли они фотографировать в течение 8 дней?
в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа
за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 40 фотографий?
Решение
Тогда
в первый день Маша сделала m фотографий,
во второй день Маша сделала (m+1) фотографий;
в третий день Маша сделала(m+2) фотографий;
.. .
в k-ый день Маша сделала (m+k-1)фотографий.
в первый день Наташа сделала n фотографий,
во второй день Наташа сделала (n+1) фотографий;
в третий день Наташа сделала (n+2) фотографий;
.. .
в k-ый день Наташа сделала (n+k-1)фотографий.
Суммарно:
Маша сделала
m + (m+1) + (m+2) + ... + (m+k-1)=mk+ (1+2+...+k-1)
Наташа сделала
n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+k-1)=nk+ (1+2+...+k-1)
По условию:
nk+ (1+2+...+k-1) больше mk+ (1+2+...+k-1) на 1001
Составляем равенство:
nk-mk=1001
k*(n-m)=1001
Это уравнение, которое нужно решить в натуральных числах.
Так как 1001=7*11*13
а) Да. Могли фотографировать 7 дней
Правая часть делится на 7, значит и левая делится на 7.
б) Нет. Не могли фотографировать 8 дней,
Правая часть не делится на 8, значит и левая не делится на 8.
в)
m+k-1 < 40
m+k < 40
Перебираем разные варианты:
Так как k > 1 и k равно либо 7, либо 11, либо 13, то при
k=7
m < 33, значит наибольшее значение m=32
Из равенства
k*(n-m)=1001
n-m=143 ⇒ n=143+32=175
Наташа сделала 7*175+1+2+3+4+5+6=1246 фотографий.
при k=11
m< 29, значит наибольшее значение m=28
n-m=91 ⇒ n= 119
Наташа сделала 7*119+1+2+3+4+5+6= 854 фотографий
при k=13
m< 27, значит наибольшее значение m=26
n-m=77 ⇒ n= 103
Наташа сделала 7*103+1+2+3+4+5+6= 742 фотографий
о т в е т. в) 1246