Найти область определения функции, исследовать её поведение на границах этой области:
Подробное решение:
Найти точки разрыва и классифицировать их с помощью односторонних пределов:
Подробное решение:
Исследовать периодичность, чётность (нечётность):
Подробное решение:
Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства функции:
Подробное решение:
Найти асимптоты:
Подробное решение:
Найти точки экстремума и интервалы монотонности:
Подробное решение:
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости:
Подробное решение:
[b]y=x/(x^2+1)[/b]
1.область определения функции D(y)=(-∞;+ ∞)
2. Область изменения функции E(y) =[- 1;1]
см. по рисунку
3. Четность или нечетность функции
функция является нечЁтной
y(-x)=-x/((-x)^2+1)=-(x/(x^2+1))=-y(x)
4.перИодичность - функция непериодическая
5.нули функции
y=0 при х=0
(0;0) точка пересечения с осью Ох и с осью Оу
6.интервалы знака постоянства
y > 0 при x >0
y < 0 при x < 0
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞)(x)/(x^2+1)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) 1/2x=0
lim_(x→ - ∞) (x/(x^2+1))=0
9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота
[b]Исследование функции с помощью первой производной[/b]
y`=((x)`*(x^2+1)-x*(x^2+1)`)/(x^2+1)^2
y`=(x^2+1-x*2x)/(x^2+1)^2
y`=(1-x^2)/(x^2+1)^2
y`=0
1-x^2=0
x= ± 1
x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`< 0 на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
Функция убывает на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
y` > 0 на (-1; 1)
Функция возрастает на (-1; 1)
[b]Исследование функции с помощью второй производной[/b]
y``=((1-х^2)`*(x^2+1)^2 - (1-x^2)*((x^2+1)^2)`)/(x^2+1)^4
y``=(-2x*(x^2+1)^2-(1-x^2)*2(x^2+1)*2x)/(x^2+1)^4
y``=(-2x^3-2x-4x+4x^3)/(x^2+1)^3
y``=(2x^3-6x)/(x^2+1)^3
y``=0
2x^3-6x=0
2x(x^2-3)=0
x=0; x= ± sqrt(3)
y``<0 на (- ∞;-sqrt(3) ) и на (0; sqrt(3))
кривая выпукла вверх на (- ∞;-sqrt(3) ) и на (0; sqrt(3))
y``>0 на(-sqrt(3);0) и на (sqrt(3);+ ∞ )
кривая выпукла вниз на (-sqrt(3);0) и на (sqrt(3);+ ∞ )
точки перегиба: - sqrt(3); 0; sqrt(3)
Cм. рис.
б)
[b]y=e^(x)/x[/b]
1.область определения функции D(y)=(-∞;0) U(0;+ ∞)
2. Область изменения функции E(y) =(- ∞;0) U(
см. по рисунку
3. Четность или нечетность функции
функция не является ни чЁтной ни нечЁтной
4.перИодичность - непериодическая
5.нули функции
y=0
e^(x) ≠ 0 ни при каком х
точек пересечения с осью Ох нет
6.интервалы знака постоянства
y > 0 при x >0
y < 0 при x < 0
2.) исследовать с помощью теории пределов
7.непрерывность функции
непрерывна на области определения, как частное непрерывных функций
8.поведение функции на бесконечности (для этого вычислить пределы)
lim_(x→+∞)(e^x)/(x)=(∞/∞)
применяем правило Лопиталя
lim_(x→+∞) e^x/1=+ ∞
lim_(x→ - ∞) e^x/1=0
9.асимптоты граф. функции
y=0 - горизонтальная асимптота на - ∞
x=0 - вертикальная асимптота
3.) исследовать с помощью производной
y`=((e^x)`*x-(e^x)*x`)/(x^2)
y`=e^(x)*(x-1)/(x^2)
y`=0
x-1=0
x=1
_-___ (0) ___-__ (1) __+__
y`<0 на (- ∞ ;0)U(0;1)
функция убывает на (- ∞ ;0)U(0;1)
y`>0 на (1; + ∞ )
функция возрастает на (1; + ∞ )
x=1 - точка минимума
y(1)=e
См. рис.2