Задача 28096 10.2) Конус вписан в правильную...

slava191

29.05.2018

10.2) Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1. Найдите разность объемов пира­миды и конуса.

SOVA

29.05.2018

★

АВСВ- квадрат, конус вписан в пирамиду, значит основание конуса вписано в квадрат.
Пусть радиус основания конуса R
Значит,
AB=BC=CD=AD=2R

Сфера вписана в конус. Пусть радиус сферы r.
Рассмотрим осевое сечение конуса, равнобедренный треугольник SMN, основание MN, которого равно стороне квадрата и MN=2R

В равнобедренный треугольник SMN вписана окружность
радиус которой равен 1, высота SH=9/4
SO=SH-OH=(9/4)-1=(5/4)

По теореме Пифагора из треугольника SOK
SK^2=SO^2-OK^2=(5/4)^2-1^2=3/4
SK=3/4
По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны.
NK=NH=R
По теореме Пифагора из треугольника SHN
SN^2=SH^2+HN^2
((3/4)+R)^2=(9/4)^2+R^2 ⇒
(3/2)R=72/16;
R=3

AB=6

V( пирамиды)=(1/3)S(квадрата)*H=(1/3)*6^2*(9/4)=27
V(конуса)=(1/3)S(осн.)*H=(1/3)*Pi*3^2*(9/4)=27Pi/4

V( пирамиды)-V(конуса)= 27- (27Pi/4)=27*(4-Pi)/4=6,75*(4-Pi)

О т в е т. 6,75*(4-Pi)