Задача 46800 Найти расстояние до точки А(3;7),...

kamilova009

12 апреля 2020 г. в 20:16

Найти расстояние до точки А(3;7), проходящей через точки В (–2;4), С(5;1)

sova

12 апреля 2020 г. в 20:21

Составляем уравнение прямой ВС, как прямой , проходящей через две точки ( см формулу в приложении)

[m]\frac{x-5}{-2-5}=\frac{y-1}{4-1}[/m]

[m]3(x-5)=-7(y-1)[/m]

3x+7y–22=0

Применяем формулу нахождения расстояния от точки А до прямой
ВС: 3х+7y–22=0

(cм. приложение 2)

d=[m]\frac{3\cdot 3+7\cdot 7 -22}{\sqrt{3^2+7^2}}=\frac{36}{\sqrt{58}}[/m]



Второй способ

Составляем уравнение прямой ВС в виде y=kx+b

Подставляем координаты точек B и C

4=k·(–2)+b
1=k·5+b

Вычитаем из первого уравнения второе
3=–7k
k=–3/7 ⇒ b=1–5·(–3/7)=22/7

y=(–3/7)x+(22/7)

Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (–1)

Значит прямая, перпендикулярная ВС имеет угловой коэффициент
(7/3)

Уравнение таких прямых
y=(7/3)x+b

Чтобы найти b подставляем координаты точки А

7=(7/3)·3+b

b=0

y=(7/3)x – уравнение прямой, перпендикулярной ВС и проходящей через точку А

Находим точку пересечения этой прямой с прямой ВС

{y=–(3/7)x+(22/7)
{y=(7/3)x

x=33/43

y=77/43

Это координаты точки Н – основания перпендикуляра АН на сторону ВС

Находим расстояние АН

AH=√(x_H–x_A)²+(y_H–y_A)²=

считаем самостоятельно.
Ответы должны быть одинаковые