Задача 9905 Решите неравенство...

slava191

9 декабря 2016 г. в 00:00

Решите неравенство (2^cosx–1)/(3·2^cosx–1) ≤ 2^1+cosx–2

SOVA

13 сентября 2016 г.

★

Замена переменной: 2^cosx=t; t > 0 при любом х.
Неравенство примет вид:
(t–1)/(3t–1) ≤ 2t–2;
(t–1–2(t–1)(3t–1))/(3t–1) ≤ 0;
(t–1)(1–6t+2)/(3t–1) ≤ 0;
(t–1)(3–6t)/(3t–1) ≤ 0;
Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
t=1; t=1/2.
Находим нули знаменателя
t=1/3
Знаки
на (0; 1/3) +; на (1/3;1/2)–; на (1/2;1)+; на (1;+ ∞) –.
Решение неравенства:
1/3 < t ≤1/2 или t ≥ 1

Обратная замена:
1/3 < 2^cosx ≤ 1/2 или 2^cosx ≥1;
cosx ≤–1 или сosx≥ 0
cosx=–1
x=(–π)+2πk, k ∈ Z. (–π/2)+2πn ≤x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т.(–π)+2πk, k ∈ Z; (–π/2)+2πn ≤x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z.