Задача 9905 Решите неравенство...

slava191

12.09.2016

Решите неравенство (2^(cosx)-1)/(3*2^(cosx)-1) меньше или равно 2^(1+cosx)-2

SOVA

13.09.2016

★

Замена переменной: 2^(cosx)=t; t > 0 при любом х.
Неравенство примет вид:
(t-1)/(3t-1) ≤ 2t-2;
(t-1-2(t-1)(3t-1))/(3t-1) ≤ 0;
(t-1)(1-6t+2)/(3t-1) ≤ 0;
(t-1)(3-6t)/(3t-1) ≤ 0;
Решаем методом интервалов.
Находим нули числителя:
t=1; t=1/2.
Находим нули знаменателя
t=1/3
Знаки
на (0; 1/3) +; на (1/3;1/2)-; на (1/2;1)+; на (1;+ бесконечность) -.
Решение неравенства:
1/3 < t ≤1/2 или t ≥ 1

Обратная замена:
1/3 < 2^(cosx) ≤ 1/2 или 2^(cosx) ≥1;
cosx ≤-1 или сosx≥ 0
cosx=-1
x=(-π)+2πk, k ∈ Z. (-π/2)+2πn ≤x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z

О т в е т.(-π)+2πk, k ∈ Z; (-π/2)+2πn ≤x ≤(π/2)+2πn, n ∈ Z.