Задача 45310 В правильной треугольной пирамиде SABC с...

tanyas2002

2020-03-25 07:37:25

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S известно , что SA =12 и АВ =18. На боковых ребрах SB и SC взяты точки D и Е соответственно так, что SD=SE=4. Найдите радиус сферы проходящей через точки D, E , А и С.

sova

2020-03-25 10:50:56

★

SD=SE=4 ⇒ ΔSDE~ ΔSBC
DE:BC=SD:SB
DE=6

Получаем Δ DEF подобен треугольнику ABC
F- точка на ребре SA, SF=4

Около усеченной пирамиды DEFBCA можно описать сферу, если около ее оснований DEF и ABC - можно описать окружности.

Так как треугольники правильные, то окружности описать можно.
см. рис.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной [b]а[/b] вычисляется по формуле:
[b]a*sqrt(3)/3[/b]

Поэтому радиус окружности, описанной около Δ ABC
r_(1)=18*sqrt(3)/3=6sqrt(3)

радиус окружности, описанной около Δ DEF
r_(1)=6*sqrt(3)/3=2sqrt(3)

BP=r_(1)
SP= SB^2-BP^2=12^2-(6sqrt(3))^2=36
SP=6

DT=r_(2)
ST=SD^2-DT^2=4^2-(2sqrt(3))^2=4
ST=2

[b]TP[/b]=SP-ST=6-2=[b]4[/b]

Теперь задача свелась к планиметрической задаче:
( см. рис.2) Так как TP=4; BP=6sqrt(3); DT=2sqrt(3), то [i]центр сферы[/i] О- вне трапеции TDBP

Пусть ОР=х, тогда OT=4+x

По теореме Пифагора:
OP^2=R^2-(6sqrt(3))^2
OT^2=R^2-(2sqrt(3))^2

OP^2+(6sqrt(3))^2=OT^2+(2sqrt(3))^2

x^2+108=(4+x)^2+12
(4+x)^2-x^2=96
(4+x-x)*(4+x+x)=96
(4+2x)*4=96
4+2x=24
2x=20
x=10

R^2=OP^2+(6sqrt(3))^2=100+108=208

R=sqrt(208)

О т в ет. R_(cферы)=sqrt(208)