Задача 36614 решить дифур y" - 2y' + y = 2e^x/(x^2...

leronmarkevich

2019-04-30 13:37:07

решить дифур
y" - 2y' + y = 2e^x/(x^2 +6x+8)

sova

2019-04-30 14:04:21

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y``-2y`+y=0
Составляем характеристическое
k^2-2k+1=0
k_(1,2)=1 - кратные действительные корни

y=C_(1)e^(x)+C_(2)*x*e^(x)

Применяем метод вариации произвольных постоянных

y=C_(1)(x)e^(x)+C_(2)(x)*x*e^(x)


С_(1) и С_(2) находим из системы уравнений:

{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*x*e^(x)=0
{C`_(1)(x)(e^(x))`+C`_(2)(x)*(x*e^(x))`=2e^(x)/(x^2+6x+8)

{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*x*e^(x)=0
{C`_(1)(x)e^(x)+C`_(2)(x)*(e^(x)+x*e(x))=2e^(x)/(x^2+6x+8)

Вычитаем из второго первое уравнение:
C`_(2)(x)e^(x)=2e^(x)/(x^2+6x+8)
C`_(2)(x)=2/(x^2+6x+8)

С_(2)(x)=2 ∫ dx/(x^2+6x+8)

Выделяем полный квадрат:
x^2+6x+8=x^2+6x+9-1=(x+3)^2-1
С_(2)(x)=2 ∫ d(x+3)/((x+3)^2-1)

С_(2)(х)=2*(1/2)*ln|(x+3-1)/(x+3+1)|

[b]С_(2)(х)=ln|(x+2)/(x+4)|[/b]

подставляем в первое уравнение системы:

C`_(1)(x)e^(x)+ln|(x+2)/(x+4)x*e^(x)=0

C`_(1)(x)+x*ln|(x+2)/(x+4)|=0

C_(1)(x)=- ∫ x*ln((x+2)/(x+4))dx

по частям:

u=ln((x+2)/(x+4))

du=((x+4)/(x+2) )*((x+2)/(x+4))`dx=((x+4)/(x+2))*(2/(x+4)^2)dx=

= [b]2dx/((x+2)(x+4))[/b]



dv=xdx

v=x^2/2

C_(1)(x)=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2/2)* [b](2dx/((x+2)(x+4)))[/b]=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2+6x+8-6x-8)/(x^2+6x+8)=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ (x^2+6x+8)dx/(x^2+6x+8)+

∫ (6x+8)dx/((x+3)^2-1)= замена в последнем х+3=t;dx=dt

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - ∫ dx+ ∫(6t-10)dt /(t^2-1)=

=(x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - x + 3*∫ d(t^2-1)/(t^2-1) - 10 ∫ dt/(t^2-1)=

= [b](x^2/2)*ln((x+2)/(x+4)) - x +3ln|x^2+6x+8|-(10/2)n((x+2)/(x+4))[/b]