Задача 38103 ...

vk360275243

12 июня 2019 г. в 14:45

13. cos2x+5√3sinx+8 = 0

15. log_1/5(16–8x) ≤ log_1/5(x²–6x+8)–log_1/5(x+5)

sova

12 июня 2019 г. в 16:02

★

15.
{16–8x>0 ⇒ x < 2
{x²–6x+8 >0 ⇒ D=36–32=4; корни 2 и 4; ⇒ x < 2 или x >4
{x+5>0 ⇒ x > –5
ОДЗ: х ∈ (–5;2)

Запишем так:
log_1/5(16–8x) +log_1/5(x+5) ≤ log_1/5(x²–6x+8)

Cумму логарифмов заменим логарифмом произведения

log_1/5 (16–8x)(x+5) ≤ log_0,1 (x²–6x+8)

Логарифмическая функция с снованием (0 < 1/5 < 1) убывающая. Большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

(16–8x)(x+5) ≤ (x²–6x+8)

(x–2)(x–4) +8(x–2)(x+5) ≥ 0

(x–2)·(x–4+8x+40) ≥ 0

9·(х–2)·(х+4) ≥ 0

x ∈(– ∞ ;–4] U [2;+ ∞ )

С учетом ОДЗ получаем ответ:

(–5;–4]

13.
cos²x=1–2sin²x

Уравнение принимает вид:

1–2sin²x+5√3·sinx+8=0
–2sin²x+5√3·sinx+9=0

Квадратное уравнение относительно sinx

Замена переменной

sinx=t

2t²–5√3t–9=0

D=(–5√3)²–4·2·(–9)=75+72=147

√147=7√3

t₁=(5√3–7√3)/4; t₂=(5√3+7√3)/4;

t₁=–√3/2; t₂=3√3

Обратно:

sinx=–√3/2

х=(–1)^k arcsin(–√3)/2+πk, k ∈ Z

х=(–1)^k·(–π/3)+πk, k ∈ Z – о т в е т.

Отрезку [–5π/2;–π] принадлежит один корень

x=(–π/3)–2π=–7π/3

cм. рис.