[m]\left\{\begin{matrix}
x^2-8x+12>0\\ x+4>0\\x+4 ≠ 1\\(2-x)^2>0\\|x-2|>0\\|x-2| ≠ 1
\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
x<2; x > 6\\ x>-4\\x ≠ -3\\x≠2\\x≠2\\x-2 ≠\pm 1
\end{matrix}\right.[/m]
[red]x ∈ (-4;-3) U (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red]
В условиях ОДЗ:
[m]\frac{1}{2}log_{|x-2|}(2-x)^2=log_{|x-2|}((x-2)^2)^{\frac{1}{2}}=log_{|x-2|}|x-2|=1[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < 1[/m], так как [m]1=log_{x+4}(x+4) [/m], то
[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]
Если основание логарифмической функции 0 < x+4 < 1, т.е
[red]x ∈ (-4;-3) [/red], то
[i]логарифмическая функция убывает [/i] и
[m]x^2–8x+12 > x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 >0[/m]
D=81-32=49
x=1; x=8
решение неравенства : x < 1 или x > 8
C учетом [red]x ∈ (-4;-3) [/red], о т в е т. [b]x ∈ (-4;-3) [/b],
Если основание логарифмической функции
x+4 > 1, т.е
[red]x ∈ (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red]
[i]логарифмическая функция возрастает[/i] и
[m]x^2–8x+12 < x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 <0[/m]
D=81-32=49
x=1; x=8
решение неравенства : 1 < x < 8
C учетом [red]x ∈ (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red] о т в е т. [b]x ∈(1;2) U(6;8) [/b]
Объединяем оба ответа:
О т в е т. [b]x ∈ (-4;-3) U(1;2) U(6;8) [/b]
РS
Метод рационализации логарифмических неравенств позволяет не рассматривать два случая ( возрастания и убывания логарифмический функции).
От неравенства:
[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]
переход к неравенству:
[m](x+4-1)(x^2–8x+12-x-4) <0[/m]
[m](x+3)(x^2–9x+8) <0[/m]
[m](x+3)(x-1)(x-8) <0[/m]
и с учетом ОДЗ тот же ответ.