Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 48355 Решите неравенство log(x+4)(x^2-8x+12) <...

Условие

Решите неравенство log(x+4)(x^2-8x+12) < (1/2)log(|x-2|)(2-x)^2 [Ларин 15]

математика 10-11 класс 3719

Решение

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix}
x^2-8x+12>0\\ x+4>0\\x+4 ≠ 1\\(2-x)^2>0\\|x-2|>0\\|x-2| ≠ 1

\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
x<2; x > 6\\ x>-4\\x ≠ -3\\x≠2\\x≠2\\x-2 ≠\pm 1

\end{matrix}\right.[/m]

[red]x ∈ (-4;-3) U (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red]

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{2}log_{|x-2|}(2-x)^2=log_{|x-2|}((x-2)^2)^{\frac{1}{2}}=log_{|x-2|}|x-2|=1[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < 1[/m], так как [m]1=log_{x+4}(x+4) [/m], то

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]

Если основание логарифмической функции 0 < x+4 < 1, т.е
[red]x ∈ (-4;-3) [/red], то

[i]логарифмическая функция убывает [/i] и
[m]x^2–8x+12 > x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 >0[/m]
D=81-32=49
x=1; x=8

решение неравенства : x < 1 или x > 8

C учетом [red]x ∈ (-4;-3) [/red], о т в е т. [b]x ∈ (-4;-3) [/b],

Если основание логарифмической функции
x+4 > 1, т.е
[red]x ∈ (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red]

[i]логарифмическая функция возрастает[/i] и
[m]x^2–8x+12 < x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 <0[/m]
D=81-32=49
x=1; x=8

решение неравенства : 1 < x < 8

C учетом [red]x ∈ (-3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )[/red] о т в е т. [b]x ∈(1;2) U(6;8) [/b]

Объединяем оба ответа:

О т в е т. [b]x ∈ (-4;-3) U(1;2) U(6;8) [/b]


РS

Метод рационализации логарифмических неравенств позволяет не рассматривать два случая ( возрастания и убывания логарифмический функции).

От неравенства:

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]

переход к неравенству:

[m](x+4-1)(x^2–8x+12-x-4) <0[/m]


[m](x+3)(x^2–9x+8) <0[/m]

[m](x+3)(x-1)(x-8) <0[/m]

и с учетом ОДЗ тот же ответ.

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК