Задача 48355 Решите неравенство log(x+4)(x^2-8x+12) <...

slava191

25 апреля 2020 г. в 16:02

Решите неравенство log_x+4(x²–8x+12) < (1/2)log_|x–2|(2–x)² [Ларин 15]

sova

25 апреля 2020 г. в 16:51

★

ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix}
x^2-8x+12>0\\ x+4>0\\x+4 ≠ 1\\(2-x)^2>0\\|x-2|>0\\|x-2| ≠ 1

\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix}
x<2; x > 6\\ x>-4\\x ≠ -3\\x≠2\\x≠2\\x-2 ≠\pm 1

\end{matrix}\right.[/m]

x ∈ (–4;–3) U (–3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )

В условиях ОДЗ:

[m]\frac{1}{2}log_{|x-2|}(2-x)^2=log_{|x-2|}((x-2)^2)^{\frac{1}{2}}=log_{|x-2|}|x-2|=1[/m]

Неравенство принимает вид:

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < 1[/m], так как [m]1=log_{x+4}(x+4) [/m], то

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]

Если основание логарифмической функции 0 < x+4 < 1, т.е
x ∈ (–4;–3) , то

логарифмическая функция убывает и
[m]x^2–8x+12 > x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 >0[/m]
D=81–32=49
x=1; x=8

решение неравенства : x < 1 или x > 8

C учетом x ∈ (–4;–3) , о т в е т. x ∈ (–4;–3) ,

Если основание логарифмической функции
x+4 > 1, т.е
x ∈ (–3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ )

логарифмическая функция возрастает и
[m]x^2–8x+12 < x+4[/m]
[m]x^2–9x+8 <0[/m]
D=81–32=49
x=1; x=8

решение неравенства : 1 < x < 8

C учетом x ∈ (–3;1)U(1;2) U(6;+ ∞ ) о т в е т. x ∈(1;2) U(6;8)

Объединяем оба ответа:

О т в е т. x ∈ (–4;–3) U(1;2) U(6;8)


РS

Метод рационализации логарифмических неравенств позволяет не рассматривать два случая ( возрастания и убывания логарифмический функции).

От неравенства:

[m]log_{x+4}(x^2–8x+12) < log_{x+4}(x+4)[/m]

переход к неравенству:

[m](x+4-1)(x^2–8x+12-x-4) <0[/m]


[m](x+3)(x^2–9x+8) <0[/m]

[m](x+3)(x-1)(x-8) <0[/m]

и с учетом ОДЗ тот же ответ.