Задача 52234 В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E –...

katesmett

2020-06-08 11:21:22

В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 точка E – середина ребра A_1 B_1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD_1. (решить координатным способом)

sova

2020-06-08 13:26:29

Вводим систему координат:
A(0;0;0)
B(0;1;0)
C(1;1;0)
D(1;0;0)

A_(1)(0;0;1)
B_(1)(0;1;1)
C_(1)(1;1;1)
D_(1)(1;0;1)


E(0; 0,5; 1)

vector{AE}=(0;0,5;1) - направляющий вектор прямой АЕ

Составляем уравнение плоскости BDD_(1)B_(1):

Плоскость параллельна оси Оz и содержит прямую BD, уравнение которой на пл. ХОУ имеет вид: x+y=1

Поэтому уравнение плоскости BDD_(1)B_(1) имеет тот же вид:

[b]x+y=1[/b]

Нормальный вектор плоскости BDD_(1)B_(1)

vector{n}=(1;1;0)

Угол φ между прямой AE и плоскостью плоскостью BDD_(1)B_(1) равен
(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})
φ= 90 ° - ∠vector{AE},vector{n}

Угол между векторами vector{AE}=(0;0,5;1) и vector{n}=(1;1;0) находим из определения скалярного произведения векторов:


cos( ∠ vector{AE},vector{n})=(vector{AE}*vector{n})/|vector{AE}|*|vector{n}|=

=(0*1+0,5*1+1*0)/sqrt(0,5^2+1^2)*sqrt(1^2+1^2)=1/sqrt(10)


Угол φ между прямой и плоскостью равен (90 ° - ∠vector{AE},vector{n})

φ =(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})


sin φ =sin(90 ° - ∠vector{AE},vector{n})=cos∠vector{AE},vector{n}=1/sqrt(10)