Задача 27851 Ребро МВ треугольной пирамиды МАВС ...

u17621524899

22.05.2018

Ребро МВ треугольной пирамиды МАВС перпендикулярно плоскости АВС, угол АВС равен 120 градусам, АВ = МВ = 2ВС. Точка К – середина ребра МВ.

а) Докажите, что треугольник АКС – прямоугольный.

б) Найдите расстояние от середины ребра АВ до плоскости АКС,
если ВС =4*корень из 30 .

SOVA

27.05.2018

а)Пусть
BC=x, тогда АВ=МВ=2х
ВК=(1/2)ВМ=х

По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника АВК
AK^2=AB^2+BK^2=(2x)^2+x^2=5x^2

По теореме Пифагора
из прямоугольного треугольника ВКC
KC^2=BC^2+BK^2=x^2+x^2=2x^2

По теореме косинусов из треугольника АВС:
AC^2=AB^2+BC^2-2*AC*BC*cos ∠ ABC=(2x)^2+x^2-2*2x*x*(-1/2)=7x^2

Так как
в треугольнике АСК
AC^2=AK^2+KC^2
по теореме, обратной теореме Пифагора, делаем вывод, что треугольник АКС - прямоугольный.

б) РЕ=(1/2)ВТ=(1/2)*(xsqrt(2)/2)=xsqrt(2)/4=
=4sqrt(30)*sqrt(2)/4=sqrt(60)=2sqrt(15)