Задача 39541 помогите решить пожайлуста...
Условие
Решение
y`+[m]\frac{1}{x}[/m]y=[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]
Линейное уравнение первого порядка.
Решают либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной:
Метод Бернулли.
Ищут решение y в виде произведения u*v
y=u*v
y`=u`*v + u*v`
Уравнение принимает вид:
u`*v + u*v`+[m]\frac{1}{x}[/m]u*v=[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]
Выносим за скобки u:
u`*v + u(v`+[m]\frac{1}{x}[/m]v)=[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]
Так как функции u и v - произвольные, то выбираем их так, чтобы
v`+[m]\frac{1}{x}[/m]v=0
тогда
u`*v =[m]\frac{e^{x}}{x}[/m]
Осталось решить два уравнения с разделяющимися переменными
v`+[m]\frac{1}{x}[/m]v=0 ⇒ [m]\frac{dv}{dx}+\frac{v}{x}[/m]
[m]\frac{dv}{v}= -\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем, при этом С=0
[m]\int \frac{dv}{v}= -\int \frac{dx}{x}[/m]
ln|v|=-ln|x|
ln|v|=(ln|x|)^(-1)
ln|v|=ln|[m]\frac{1}{x}|[/m]
v=[m]\frac{1}{x}[/m]
Решаем второе уравнение
u`*v =[m]\frac{e^{x}}{x}[/m], v=[m]\frac{1}{x}[/m] ⇒
u`=e^(x)
Интегрируем
u=e^(x)+C
Итак, y=u*v=(e^(x)+C)*[m]\frac{1}{x}[/m]
y=[m]\frac{e^{x}}{x}+\frac{C}{x}[/m] - [i]общее[/i] решение диф. уравнения.
Частное решение
При х=а y=b
b=[m]\frac{e^{a}}{a}+\frac{C}{a}[/m] ⇒ C=e^(a)-ab
y=[m]\frac{e^{x}}{x}+\frac{e^{a}-ab}{x}[/m] -[i] частное[/i] решение диф. уравнения.
