Задача 38135 Даны: функция z = f(x, у), точка...

people34

13 июня 2019 г. в 23:39

Даны: функция z = f(x, у), точка A(х0,у0) и вектор а. Найти:

1) направление наибольшего возрастания функции z

( т.е. grad z ) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении;

2) производную в точке А но направлению вектора а ;

3) экстремум функции z =f (x,y).

sova

14 июня 2019 г. в 09:13

★

a=(2;–4) –это вектор направления l

Направляющие косинусы вектора a:
cos α =2/√2²+(–4)²=2/√20
cos β =–4/√2²+(–4)²=–4/√20

∂z/∂x=(x²+2xy–4x+8y)`<sub>x</sub>=2x+2y–4
∂z/∂y=(x<sup>2</sup>+2xy–4x+8y)`_y=2x+8

(∂z/∂x)(A)=2·3+2·1–4=4
(∂z/∂y)(A)=2·3+8=14

∂z/∂l=(∂z/∂x)·cos α + (∂z/∂y)· cosβ

∂z/∂l_A=(∂z/∂x)A)·cos α + (∂z/∂y)(A)· cosβ=4·(2/√20)+14·(–4/√20)= –44/√20=–22/√5