Задача 34004 Боковое ребро правильной треугольной...

opppai

2019-02-27 18:41:26

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6см , и составляет с плоскостью основания 60 градусов. Найдите объем пирамиды.
Можно, пожалуйста, с подробным решением, оформлением и рисунком.

sova

2019-02-27 19:21:40

Δ АВС - равносторонний.
Вершина пирамиды проектируется в точку О.
О- центр вписанной и описанной окружности.

В прямоугольном треугольнике MOA
OA=MA/2=3
катет против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора
MO^2=MA^2-OA^2=6^2 -3^2=27
MO=3sqrt(3)

Пусть сторона треугольника АВС равна a.
R=asqrt(3)/3 - выражение радиуса описанной около правильного треугольника через сторону.

[b]asqrt(3)/3=3[/b] ⇒ a=3sqrt(3)

S_( Δ ABC)=(1/2)a*a*sin60^(o)=a^2sqrt(3)/4

При найденном значении а=3sqrt(3)
S_( Δ ABC)=27*sqrt(3)/4

V=(1/3)*S_(осн.)*H=(1/3)*S_( Δ ABC)*H=

=(1/3)*(27*sqrt(3)/4) * 3sqrt(3)=81/4