Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 41517 Решить уровнение sin5x+cos4x=0 Выполнить...

Условие

Решить уровнение sin5x+cos4x=0
Выполнить отбор корней на промежутке 270°<x<360°

математика 10-11 класс 6096

Решение

cos4x=sin([m]\frac{\pi}{2}[/m]-4x)

Уравнение принимает вид:

sin5x + sin([m]\frac{\pi}{2}[/m]-4x)=0

Формула

[r] sin α +sin β =[m]2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha-\beta }{2}[/m][/r]


[m]2sin\frac{5x+\frac{\pi }{2}-4x}{2}cos\frac{5x-\frac{\pi}{2}+4x }{2}=0[/m]

[m]sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})cos(4,5x-\frac{\pi}{4})=0[/m]

[m]sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4})=0[/m]

[m]\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\pi k, k\in Z[/m]

[m]\frac{x}{2}= -\frac{\pi }{4}+\pi k, k\in Z[/m]

[m]x= -\frac{\pi }{2}+2 \pi k, k\in Z[/m]


или


[m]cos(4,5x-\frac{\pi}{4})=0[/m]

[m]4,5x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+ \pi n, n\in Z[/m]

[m]4,5x= \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+\pi n, n\in Z[/m]

[m]4,5x= \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}+ \pi n, n\in Z[/m]

[m]4,5x= \frac{3\pi }{4}+ \pi n, n\in Z[/m]

[m]x= \frac{\pi }{6}+ \frac{2\pi }{9} \pi n, n\in Z[/m]


[red]Отбор корней[/red] с помощью неравенств:

Так как
[m]270^{o}= \frac{3\pi }{2}; 360^{o}=2 \pi [/m]

[m] \frac{3\pi }{2}< -\frac{\pi }{2}+2 \pi k < 2 \pi, k \in Z [/m]

Делим на π

[m] \frac{3}{2}< -\frac{1}{2}+2 k < 2, k\in Z [/m]

Прибавляем ко всем частям [m] \frac{1}{2} [/m]

[m] \frac{3}{2}+\frac{1}{2}<2 k < 2+\frac{1}{2}, k \in Z [/m]

[m]2 < k < 2+\frac{1}{2}, k \in Z [/m] - неравенство не выполняется ни при каких k


[m] \frac{3\pi }{2}< \frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{9}n < 2 \pi, n \in Z [/m]
Делим на π

[m] \frac{3}{2}< \frac{1 }{6}+\frac{2 }{9}n < 2, n \in Z [/m]

Прибавляем ко всем частям [m]- \frac{1}{6} [/m]


[m] \frac{3}{2} - \frac{1}{6}<\frac{2 }{9}n < 2 - \frac{1}{6}, k\in Z [/m]

[m] \frac{8}{6}<\frac{2 }{9}n < \frac{11}{6}, k\in Z [/m]

Приводим дроби к знаменателю 18:

[m] \frac{24}{18}<\frac{4 }{18}n < \frac{33}{18}, k\in Z [/m]

Умножаем на 18:

24 < 4n < 33

так как n - натуральное , неравенству удовлетворяют значения

n=7 или n=8

При n=7

[m]x= \frac{\pi }{6}+ \frac{14 \pi }{9}=\frac {31 \pi}{18}=310^{o}[/m]∈ (270 ° ;360 ° )

При n=8

[m]x= \frac{\pi }{6}+ \frac{16 \pi }{9}=\frac {35 \pi}{18}=350^{o}[/m]∈ (270 ° ;360 ° )


О т в е т.

a) корни уравнения:
[m] \frac{\pi }{6}+ \frac{2\pi }{9} \pi n, n\in Z[/m]
[m] \frac{\pi }{6}+ \frac{2\pi }{9} \pi n, n\in Z[/m]

б) интервалу (270 ° ;360 °) принадлежат два корня:
[m] \frac {31 \pi}{18}=310^{o}[/m]
[m] \frac {35 \pi}{18}=350^{o}[/m]

Все решения

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК