Задача 52452 ...

sova

2020-06-15 15:04:05

Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+13=0
D=16-4*13=-36
k_(1)=2-3i; k_(2)=2+3i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)

Решаем задачу Коши:

По условию:
y(0)= α ⇒ α =e^(2*0)*(С_(1)sin3*0+C_(2)cos3*0) ⇒ [red]C_(2)= α [/red]

y`=e^(2x)*(2x)`*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)`

y`=2e^(2x)*(С_(1)sin3x+C_(2)cos3x)+e^(2x)*(3С_(1)cos3x-3C_(2)sin3x)

По условию:
y`(0)=0 ⇒ 0=2*(C_(1)*0+C_(2))+1*(3C_(1)-3C_(2)*0) ⇒

2C_(2)+3C_(1)=0 ⇒ 2* α +3C_(1)=0 ⇒ [red]C_(1)=-2 α /3[/red]

y=e^(2x)* α *((-2/3)sin3x+cos3x)