Задача 27865 9.25. Найдите острые углы прямоугольного...

slava191

22 мая 2018 г.

9.25. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если центр вписанной в него ок­ружности делит биссектрису прямого угла в отношении √3:√2, считая от вершины.

SOVA

23 мая 2018 г.

★

Пусть ВС=а; АС=b
В треугольнике ВСК биссектриса ВО делит сторону СК на части пропорциональные сторонам ВС и ВК
BC:BK=CO:OK=√3:√2
BK=(√2/√3)·b
Аналогично, для треугольника АСК
АК=(√2/√3)·а

AK+KB=(√2/√3)·(a+b)

По теореме Пифагора для треугольника АВС
a²+b²=(2/3)(a+b)²⇒
3a²+3b²=2a²+4ab+2b² ⇒
a²–4ab+b²=0
(a/b)²–4·(a/b)+1=0
D=16–4=12
(a/b)=(4–2√3)/2=2–√3 или (a/b)=2+√3

tg α =a/b=2–√3 или tg α =2+√3
tg β =b/a=2+√3 или tg β =2–√3

α =15 °; β =75 °
или
α =75 °; β = 15 °

так как
tg 75 ° = tg (30 ° + 45 °)=

=(tg 30 ° + tg 45 °)/(1–tg30 °·tg 45 °)=((√3/3)+1)/(1–√3/3)=
=(√3+3)/(3–√3)=(√3+1)/(√3–1)=
=(√3+1)²/(3–1)=(3+2√3+1)/2=2+√3