Задача 44975 Раскрытие неопределенностей по правилу...
Условие
Решение
[m]\lim_{x \to 1}\frac{1-x}{1-sin\frac{\pi x}{2}}=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)`}{(1-sin\frac{\pi x}{2})`}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 1}\frac{-1}{-cos\frac{\pi x}{2}\cdot (\frac{\pi x}{2})`}=\lim_{x \to 1}\frac{-1}{-cos\frac{\pi x}{2}\cdot (\frac{\pi }{2})}=
\frac{-2}{\pi\cdot(-cos\frac{\pi}{2})}=\infty[/m]
2.
[m]\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{x^5}=\lim_{x \to\infty }\frac{(e^{x})`}{(x^5)`}=\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{5x^4}=[/m]
[m]=\lim_{x \to\infty }\frac{(e^{x})`}{(5x^4)`}=\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{5\cdot 4 x^3}=...=[/m]
[m]\lim_{x \to\infty }\frac{e^{x}}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\infty[/m]
3.
[m]\lim_{x \to0 }arcsin2x\cdot ctg3x=\lim_{x \to0 }\frac{arcsin2x}{tg3x}=[/m]
[m]=\lim_{x \to0 }\frac{(arcsin2x)`}{(tg3x)`}=
\lim_{x \to0 }\frac{\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{\frac{3}{cos^23x}}=\frac{2}{3}[/m]
Проще через эквивалентность:
[m]\lim_{x \to0 }arcsin2x\cdot ctg3x=\lim_{x \to0 }\frac{arcsin2x}{tg3x}=\lim_{x \to 0 }\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}[/m]
4.
[m]\lim_{x \to 4}(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x^2-16})=\lim_{x \to 4}\frac{x+4-1}{x^2-16}=\lim_{x \to 4}\frac{(x+3)`}{(x^2-16)`}=[/m]
[m]=\lim_{x \to 4}\frac{1}{2x}=\frac{1}{8}[/m]
5.
Обозначим
[m]y=(sin5x)^{3x}[/m]
Логарифмируем
[m]lny=3x\cdot ln(sin5x)[/m]
[m]lim_{x→0}lny= lim_{x→0}3x\cdot ln(sin5x)=3 lim_{x→0} \frac{ln(sin5x)}{\frac{1}{x}}=[/m]
неопределённость (∞/∞).
Применяем правило Лопиталя:
[m]lim_{x→0}\frac{(lnsin5x)`}{\frac{1}{x})`}=lim_{x→0}\frac{\frac{(sin5x)`}{sin5x}}{-\frac{1}{x^2}}=[/m]
[m]=lim_{x→0}\frac{5cos5x\cdot x^2}{sin5x}=0[/m]
Получили
lim_(x→0)lny= 0
Меняем знак предела и знак непрерывной функции
ln(lim_(x→0)y)=0
lim_(x→0)y=e^(0)=1
О т в е т. [b]1[/b].