Задача 36162 ...

vk431041790

21 апреля 2019 г. в 20:33

4. Для каждого значения параметра a решите систему уравнений
              ┌cos y cos x=–a²–1
              └sin x sin y= 3a.
  
5. Найдите все значения параметра a, при каждом из которого уравнение √(x+a) = x+3 имеет единственный корень.

sova

21 апреля 2019 г. в 20:49

★

4.
Складываем
cosx·cosy+sinxsiny=–a²+3a–1
cos(x–y)=–a²+3a–1

|–a²+3a–1| ≤ 1 ⇒

{–a²+3a–1 ≤ 1⇒a²–3a+2≥0 ⇒ a ≤1 или a≥2
{–a²+3a–1 ≥ –1 ⇒ a²–3a ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a ≤ 3

Уравнение имеет решения при a ∈ [0;1]U[2;3]

x–y= ± arccos(–a²+3a–1)

Вычитаем
cosx·cosy–sinxsiny=–a²–3a–1
cos(x+y)=–a²–3a–1
|–a²–3a–1| ≤ 1 ⇒

{–a²–3a–1 ≤ 1⇒a²+3a+2≥0 ⇒ a ≤–2 или a≥–1
{–a²–3a–1 ≥ –1 ⇒ a²+3a ≤ 0 ⇒ –3 ≤ a ≤ 0

Уравнение имеет решения при a ∈ [–3;–2]U[–1;0]
x+y= ± arccos(–a²–3a–1)

Значение a,общее для двух случаев, это а=0

Решаем систему при а =0

5.
ОДЗ:
х ≥ –а

возводим в квадрат при условии, что x+3 ≥0
x+a=x²+6x+9

x²+5x+9–a=0

D=25–4·(9–a)=25–36+4a=4a–11
При
D = 0, т.е. при а=11/4 квадратное уравнение имеет один корень
x=–5/2
но так как
–5/2≥ –11/4 – неверно, корень не удовлетворяет ОДЗ

т. е при a >11/4 квадратное уравнение x²+6x+9–a=0
имеет один или два корня,

надо проверить какой из низ не удовлетворяет одз