Задача 39349 При каких значениях параметра а система...

yurrion

2019-09-11 00:47:03

При каких значениях параметра а система x^2+(y-2)^2=1
y=IxI+a
имеет три решения?

sova

2019-09-11 12:57:29

★

Решаем систему способом подстановки:

x^2+(|x|+a-2)^2=1
x^2+x^2+2*(a-2)|x|+(a-2)^2=1

2x^2+2(a-2)|x|+a^2-4a+3=0

Получается, что нужно решить два уравнения.

Одно при x ≥ 0
2x^2+2(a-2)*x+a^2-4a+3=0

Второе при x < 0
2x^2+2(a-2)*(-x)+a^2-4a+3=0

[red]Дискриминанты[/red] и первого и второго уравнений
[red] одинаковы:[/red]

D=D_(1)=D_(2)=4(a-2)^2-4*2*(a^2-4a+3)=4a^2-16a+16-8a^2+32a-24=

=-4a^2+16a-8=-4(a^2-4a+2);

D ≥ 0

a^2-4a+2 ≤ 0
2-sqrt(2) ≤ a ≤ 2+sqrt(2)

При этом корни первого уравнения должны удовлетворять условию: x ≥ 0
корни второго уравнения должны удовлетворять условию:
x < 0

Возможны варианты:
1) оба корня первого уравнения положительны; оба корня второго уравнения отрицательны.
Этот вариант не подходит, система имеет 4 решения
2) ) один корня первого уравнения положителен; один корень второго уравнения отрицателен.
Этот вариант не подходит, система имеет 2 решения

Значит, один корень первого уравнения равен 0, второй корень положительный;
один корень второго уравнения равен 0, второй корень отрицательный.

Это возможно при
a^2-4a+3=0 ⇒a=1; a=3

При a=1
Уравнения принимают вид
2x^2-2|x|=0
При x ≥ 0
2x^2-2x=0
x=0 или х=1 >0
При x<0
2x^2+2x=0
x=0 или x=-1 <0

При а =3
Уравнения принимают вид
2x^2+2|x|=0
При x ≥ 0
2x^2+2x=0
x=0 или х=- 1 < 0 не удовл условию x ≥ 0

При x<0
2x^2-2x=0
x=0 или x=1 >0 не удовл условию x < 0

О т в е т. a=1

[red]ИЛИ[/red]


Второй способ решений[red] графический.[/red]
График первого уравнения - окружность с центром в точке (0;2) радиусом 1
График второго уравнения с модулем - см. рис.

При a=1 - три решения