Задача 34680 ...

vk137786957

2019-03-19 22:49:06

lim (cos x)^(x-Pi/2) = 
x -> π/2

sova

2019-03-20 11:54:59

Замена переменной:
x-(π/2)=t
x→π/2, тогда t→0
x=t+(π/2)

lim_(x→π/2)(cosx)^(x-(π/2))=lim_(t→0)(cos(t+(π/2)))^(t)=

= lim_(t→0)(- sint)^(t)

Обозначим
y=(sint)^(t)
Логарифмируем
lny=t*lnsint

Находим
lim_(t→0)lny=lim_(t→0)t*lnsint =(неопределенность 0* ∞ ) сводим к неопределенности ( ∞ / ∞ ) (u*v=u/(1/v))

lim_(t→0)t*lnsint =lim_(t→0)lnsint / (1/t) Применяем правило Лопиталя:

lim_(t→0)(lnsint)` / (1/t)`=lim_(t→0)(sint)`/sint / (-1/t^2)=

=lim_(t→0)(sint)`/cost / (-1/t^2)=- lim_(t→0)t^2*cost / sint=

=- lim_(t→0)(t / sint) * lim_(t→0)(t*cost)=1*0=0

Тогда
lim_(t→0)lny=0

lim_(t→0)y=e^(0)=1

О т в е т. [b] 1[/b]