Задача 29538 На диагонали LN параллелограмма KLMN...

slava191

9 сентября 2018 г. в 12:38

На диагонали LN параллелограмма KLMN отмены точки Р и Q, причем LP=PQ=QN

А) Докажите, что прямые КР и KQ проходят через середины сторон параллелограмма.

Б) Найдите отношение площади параллелограмма KLMN к площади пятиугольника MRPQS, где R – точка пересечения КР со стороной LM, S – точка пересечения KQ с MN. [Ларин 16]

sova

11 сентября 2018 г. в 00:13

Δ KLQ и Δ SNQ подобны по трем углам:
∠ LQK = ∠ NQS как вертикальные,
два других угла как внутренние накрест лежащие при параллельных KL и SN.

Из подобия следует пропорциональность сторон:
SN:LK=QS:KQ=QN=LQ=1:2 ( по условию LP=PQ=QN и значит LQ=2QN)
S _{Δ SNQ} : S _{Δ KLQ}=1:4

Пусть S(параллелограмма KLMN)=S
S_{Δ KLN}=S

S _{Δ LKP}=S _{Δ KPQ}=S _{Δ KQN}=S_{Δ KLN}/3=(S/6;

S _{Δ SNQ} =S _{Δ KLQ}/4 = 2·(S/6)/4=S/12;

Аналогично,

S _{Δ LPR}=S _{Δ KPN}/4=S/12;

S_MRPQS=S – (S/12)–3·(S/3)–(S/12)=
(cм. рис.2)
=(S/3)

S(параллелограмма KLMN) : S_MRPQS=3:1

О т в е т. 3:1