Задача 43257 а) Вычислить угол между плоскостью р и...

vk470284233

2020-01-07 13:56:14

а) Вычислить угол между плоскостью р и прямой l;

б) найти точку паресечения прямой l и плоскости р;

в) составить уравнение прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно плоскости р.

sova

2020-01-07 14:58:51

★

Каноническое уравнение прямой
[m]\frac{x-x_{o}}{m}=\frac{y-y_{o}}{n}=\frac{z-z_{o}}{k}[/m]

содержит направляющий вектор прямой vector{q}=(m;n;k)

и координаты точки (x_(o);y_(o);z_(o)), принадлежащей данной прямой

Каноническое уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0
содержит нормальный вектор плоскости vector{n}=(A;B;C)

[red]б) [/red] точку пересечения находим из системы:
{[m]\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-4}{1}[/m]
{x-2y+4z-19=0

{[m]\frac{x-1}{2}=\frac{z-4}{1}[/m] ⇒ 2z=x+7⇒ 4z=2x+14
{y-2=0 ⇒ y=2
{x-2y+4z-19=0

x-2*2+(2x+14)-19=0
3x=9
x=3
2z=x+7; 2z=3+7; z=5

(3:2;5)

[red]в)[/red]
Направляющий вектор прямой, перпендикулярной плоскости P, коллинеарен вектору vector{n}
vector{n}=(1;-2;4) можно принять за направляющий вектор искомой прямой
Каноническое уравнение прямой имеет вид
[m]\frac{x-x_{o}}{m}=\frac{y-y_{o}}{n}=\frac{z-z_{o}}{k}[/m]

О т в е т. Каноническое уравнение прямой
[m]\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{4}[/m]



[green]a)[/green]
x_(o)=1;y_(o)=2;z_(o)=4

vector{q}=(2;0;1)
vector{n}=(1;-2;4)

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекций на плоскость.

Находим угол между векторами vector{q} и vector{n}

из скалярного произведения:
vector{q} * vector{n}=| vector{q}|*| vector{n}}*cos φ


vector{q} * vector{n}=2*1+0*(-2)+1*4=6

|vector{q}|=sqrt(2^2+0^2+1)=sqrt(5)
| vector{n}|=sqrt(1^2+(-2)^2+4^2)=sqrt(21)

cos φ =6/sqrt(105)

φ =arccos(6/sqrt(105))

cм. рис.