Задача 16786 Решите неравенство (9^x+5*3^x-14) /...

slava191

7 мая 2017 г. в 00:00

Решите неравенство (9^x+5·3^x–14) / (9^x–2·3^x+1+8) ≤ (3^x+4)/(3^x–4) + 2/(3^x–3)

SOVA

7 мая 2017 г. в 00:00

★

Замена переменной:
3^x=t;
t > 0.
3^x+1=3^x·3=3t;
9^x=(3²)^x=(3^x)²=t².
Неравенство принимает вид:
(t²+5t–14)/(t²–6t+8) ≤ ((t+4)/(t–4)) + (2/(t–3));
переносим все слагаемые влево и приводим дроби к общему знаменателю:
t²–6t+8=(t–4)(t–2)

((t–3)·(t²+5t–14)–(t+4)·(t–2)(t–3)–2·(t–4)(t–2))/(t–2)(t–3)(t–4) ≤ 0;

(t²–3t+2)/(t–2)(t–3)(t–4) ≤ 0;

(t–1)(t–2)/(t–2)(t–3)(t–4) ≤ 0.

Применяем метод интервалов.

_–__[1] _+__ (2) __+__ (3) __–__ (4) __+__

t ≤ 1 или 3 < t < 4

Возвращаемся к переменной х:
3^x ≤ 1 или 3 < 3^x < 4
x ≤ 0 или 1 < x < log₃4
О т в е т. (– ∞;0]U(1;log₃4)