Задача 36673 y''+y=x*e^(x)+2*e^(-x)...

vk218302364

2019-05-02 22:07:32

y''+y=x*e^(x)+2*e^(-x)

sova

2019-05-03 09:30:05

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+y=0

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+1=0

k_(1)=-i; k_(2)=i- корни комплексные

α=0; β=1

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=e^(0x)(С_(1)*cosx+C_(2)*sinx)

e^(0x)=1

[b]y_(одн.)=С_(1)*cosx+C_(2)*sinx[/b]



Частное решение неоднородного уравнения находим в виде:

y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)

y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=хe^(x)

y_(част 1) =(Ax+B)*e^(x)

Находим производную первого, второго порядка

y`_(част 1)=(Ax+B)`e^(x)+(Ax+B)*(e^(x))`

y`_(част 1)=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

y``_(част 1)=(A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x))`=

=A*e^(x)+=A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)=2*A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)

подставляем в данное уравнение:

2*A*e^(x)+(Ax+B)*e^(x)+(Ax+B)*e^(x) =x*e^(x)

(2А+2B)+2Ax=x

2A+2B=0
2A=1

[b]А=1/2; B=-1/2[/b]


y_(част 1)=(1/2)(x-1)*e^(x)



y_(част 2) соответствует f_(1)(x)=2e^(-x)


y_(част 2) =Me^(-x)

y`_(част 2) =-Me^(-x)

y``_(част 2) =Me^(-x)


Me^(-x)+Me^(-x)=2e^(-x)

2M=2

M=1

y_(част 2) =e^(-x)

[b]Общее решение :[/b]
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =

= [b]=С_(1)*cosx+C_(2)*sinx +(1/2)(x-1)*e^(x) +e^(-x)[/b]