Задача 13265 ...
Условие
b) Найдите корни, принадлежащие промежутку [‐2;3]
Решение
ОДЗ:
{1-sin3x больше или равно 0 ⇒sin3x меньше или равно 1;
{cos3x больше или равно 0⇒(-π/2)+2πk меньше или равно 3x меньше или равно (π/2)+2πk, k- целое.
{ x- любое
{(-π/6)+(2π/3)k меньше или равно x меньше или равно (π/6)+(2π/3)k, k- целое.
ОДЗ: х∈[(-π/6)+(2π/3)k; (π/6)+(2π/3)k]
см области зеленого цвета на рисунке.
В условиях ОДЗ возводим обе части уравнения в квадрат.
1-sin3x=cos^23x;
1-sin3x=1-sin^23x;
sin^23x-sin3x=0;
sin3x*(sin3x-1)=0.
sin3x=0 или sin3x-1=0
3x=πm, m∈Z или 3x=(π/2)+2πn, n∈Z
x=(π/3)m, m∈Z или x=(π/6)+(2π/3)n, n∈Z
Из первой серии ответов x=(π/3)m,m∈Z
x=(π/3)+(2π/3)s,s∈Z не входят в ОДЗ.
А х=(2π/3)+(2π/3)m, m∈Z входят в ОДЗ ( см. корни на рисунке, отмеченные синим цветом)
Из второй серии ответов
(π/6)+(2π/3)n,n∈Z - все корни входят в ОДЗ
( см корни на рисунке, отмеченные красным цветом)
О т в е т. (2π/3)+(2π/3)m; (π/6)+(2π/3)n, m, n∈Z
б) Указанному промежутку принадлежат 5 корней:
(-π/2); 0;π/6; 2π/3; 5π/6