[m]S_{n}=(\frac{2+3}{9})+(\frac{2^{2}+3^{2}}{9^{2}})+...+(\frac{2^{n}+3^{n}}{9^{n}})=[/m]
здесь конечно число слагаемых, поэтому можно перегруппировать
[m]=(\frac{2}{9}+\frac{2^{2}}{9^{2}}+...+\frac{2^{n}}{9^{n}})+(\frac{3}{9}+\frac{3^{2}}{9^{2}}+...+\frac{3^{n}}{9^{n}})[/m]
В первой скобке сумма n слагаемых б. уб. геом прогрессии q=[m]\frac{2}{9}[/m]
Во второй скобке сумма n слагаемых б. уб. геом прогрессии q=[m]\frac{3}{9}=]\frac{1}{3}[/m]
[m]S_{n}=\frac{\frac{2}{9}\cdot (1-(\frac{2}{9})^{n})}{1-\frac{2}{9}}+\frac{\frac{1}{3}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{1-\frac{1}{3}}=[/m]
[m]=\frac{\frac{2}{9}\cdot (1-(\frac{2}{9})^{n})}{\frac{7}{9}}+\frac{\frac{1}{3}\cdot (1-(\frac{1}{3})^{n})}{\frac{2}{3}}=\frac{2\cdot (1-(\frac{2}{9})^{n})}{7}+\frac{ (1-(\frac{1}{3})^{n})}{2}[/m]
[m]S=\lim_{n \to \infty }S_{n}=\frac{2}{7}+\frac{1}{2}=\frac{11}{14}[/m]