Составляем характеристическое уравнение:
k^2+6k+9=0
k_(1)= k_(2)=-3- корни действительные кратные
Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*e^(-3x)+C_(2)*x*e^(-3x)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=y_(част 1)+y_(част 2)
y_(част 1) соответствует f_(1)(x)=e^(-3x)
y_(част 1) =Ax^2*e^(-3x)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част1)=2Ax*e^(-3x)+Ax^2*e^(-3x)*(-3)
y``_(част)=2A*e^(-3x)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+A*x^2*e^(-3x)*(-3)*(-3)
подставляем в данное уравнение:
2A*e^(-3x)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+2Ax*e^(-3x)*(-3)+A*x^2*e^(-3x)*(-3)*(-3) +
+6*(2Ax*e^(-3x)+Ax^2*e^(-3x)*(-3)) +9*Ax^2e^(-3x)=e^(-3x)
2А=1
[b]А=1/2[/b]
y_(част 1)=(1/2)x^2*e^(-3x)
y_(част 2) =Mx+N
y`_(част 2) =M
y``_(част 2) =0
0+6M+9(Mx+N)=x
9M=1
M=1/9
N=-6/81=-2/27
y_(част 2) =(1/9)x-(2/27)
Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част 1)+y_(част 2) =
= [b]С_(1)*e^(-3x)+C_(2)*x*e^(-3x)+(1/2)x^2*e^(-3x) +(1/9)x-(2/27)[/b]