Задача 34896 y'' + 6y' + 9y = e^(-3x) + x...

leydi09

25 марта 2019 г. в 00:04

y'' + 6y' + 9y = e^–3x + x

sova

26 марта 2019 г. в 17:46

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k²+6k+9=0

k₁= k₂=–3– корни действительные кратные

Общее решение однородного имеет вид:
y_одн.=С₁·e^–3x+C₂·x·e^–3x

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_част=y_{част 1}+y_{част 2}

y_{част 1} соответствует f₁(x)=e^–3x

y_{част 1} =Ax²·e^–3x

Находим производную первого, второго порядка

y`_част1=2Ax·e^–3x+Ax²·e^–3x·(–3)

y``_част=2A·e^–3x+2Ax·e^–3x·(–3)+2Ax·e^–3x·(–3)+A·x²·e^–3x·(–3)·(–3)

подставляем в данное уравнение:

2A·e^–3x+2Ax·e^–3x·(–3)+2Ax·e^–3x·(–3)+A·x²·e^–3x·(–3)·(–3) +

+6·(2Ax·e^–3x+Ax²·e^–3x·(–3)) +9·Ax²e^–3x=e^–3x

2А=1

А=1/2

y_{част 1}=(1/2)x²·e^–3x

y_{част 2} =Mx+N

y`_{част 2} =M

y``_{част 2} =0


0+6M+9(Mx+N)=x

9M=1
M=1/9
N=–6/81=–2/27

y_{част 2} =(1/9)x–(2/27)

Общее решение :
у=y_одн.+y_{част 1}+y_{част 2} =

= С₁·e^–3x+C₂·x·e^–3x+(1/2)x²·e^–3x +(1/9)x–(2/27)