Задача 16026 Точка Н — середина ребра РВ правильного...

slava191

25 мая 2017 г.

Точка Н — середина ребра РВ правильного тетраэдра РАВС. Опустите перпендикуляр из точки H:

а) на прямую АС;
б) на высоту РО тетраэдра, О принадлежит (АВС).

Найдите длину каждого перпендикуляра, если ребро тетраэдра равно 2√2 .

SOVA

26 мая 2017 г.

★

а) Пусть М– середина АС.
Покажем, что МН – общий перпендикуляр к прямым РВ и АС.
АМ=МС
ВМ – медиана равностороннего треугольника АВС , а значит и высота.
ВМ ⊥ АС.

МН– медиана равнобедренного треугольника РМВ,
Значит МН и высота.
МН ⊥ РВ

ВМ=2√2·(√3/2)=√6
ВН=РВ/2=(2√2)/2=√2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
ВНМ
МН=√(√6)²–(√2)²=√6–2=√4=2
О т в е т. а)2.
б)
РО ⊥ пл. АВС ⇒∠РОВ=90 °
НК|| BO

НК– средняя линия треугольника РОВ
НК⊥ РО
НК=(1/2)ВО=(1/2)·(2√2)·((√3)/3)=(√6)/3
О т в е т. б) (√6)/3