Задача 47625 Найти объём тела, ограниченного...

vk259933654

2020-04-20 11:34:41

Найти объём тела, ограниченного канонической поверхностью (y - 3)^2 = x^2/2 + z^2/2 и плоскостью y = 1.

sova

2020-04-20 12:36:32

[m](y-3)^2=\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}[/m]- коническая поверхность в вершиной в точке (0;3;0)

[m]y-3=\pm\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]- две части верхняя (выше y=3)
и нижняя ( ниже y=3, c минусом)

Так как y=1 ниже y=3, то

[m]y=3-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]



V= ∫ ∫ _(D)f(x;z)dxdz

f(x;z)= [m]3-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]

D:
y=1 ⇒

[m](1-3)^2=\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}[/m]

[m]\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}=4[/m]

[m]\frac{x^2}{8}+\frac{z^2}{8}=1[/m] эллипс на пл. хОz

Вводим обобщенные полярные координаты:
x=2sqrt(2)rcos φ
z=2sqrt(2)r*sin φ

Якобиан :
8*r

f(x;z)= [m]3-\sqrt{\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{2}}[/m]

В полярных:

f(x;z)= [m]3-\sqrt{r^2}=3-r[/m]

V=∫^(2π)_(0) [b] ∫^(2sqrt(2))_(0)(3- r)(8*r)dr[/b] d φ=