Задача 16799 Окружность, вписанная в квадрат ABCD,...

slava191

08.07.2017

Окружность, вписанная в квадрат ABCD, касается его стороны АВ в точке Т, а стороны AD в точке Р. Отрезки СТ и СР пересекают окружность в точках М и N соответственно. Сторона квадрата равна sqrt(10).

а) Докажите, что прямая ТР параллельна прямой MN.

б) Найдите МР.

SOVA

09.07.2017

★

а)
см. рис. 1
АВ=ВС=СD=AD=a=sqrt(10)
AT=TB=BK=KC=CF=FD=DP=PA=(1/2) a=(1/2)sqrt(10),
По теореме Пифагора из Δ АТР
TP=sqrt(5)
По теореме Пифагора из Δ BCТ= ΔDСР
СЕ=СР=sqrt(a^2+(a/2)^2)=sqrt(5/4)a=a(sqrt(5))/2=(5sqrt(2))/2

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, поэтому
СM*CT=CK^2
CM*(5sqrt(2))/2=(sqrt(10))^2/4
CM=(sqrt(2))/2
Аналогично,
СN=CM=(sqrt(2))/2
По теореме, обратной теореме Фалеса,
MN|| TP.

б)
Рассматриваем равнобедренный треугольник СТР.
Высота СЕ является одновременно и медианой. Из прямоугольного треугольника СТЕ:
сos ∠ CTE=TE/CT=1/sqrt(10)

MT=CT-CM=(5sqrt(2))/2-(sqrt(2))/2=(4sqrt(2))/2=2sqrt(2)

Из треугольника МTP по теореме косинусов
МР^2=MT^2+TP^2-2MT*TP*cos∠ CTE=9
MP=3
О т в е т. 3