Задача 38479 ...

anastasi

3 июля 2019 г. в 09:37

Найдите все значения а. при каждом из которых данное уравнение на промежутке (0; +∞) имеет хотя бы три корня.

$|\frac{5}{x}-3| = ax-1$

sova

3 июля 2019 г. в 12:33

Раскрываем модуль:

1)
Если
(5/х)–3 ≥ 0 ⇒ |(5/x)–3|=(5/x)–3

(5–3x)/x ≥ 0 ⇒ 0 < x ≤ 5/3

тогда уравнение принимает вид:

(5/x)–3 =ax–1

ax²+2x–5=0
x ≠ 0

D=4–4·a·(–5)=4+20a

При D≥0 уравнение имеет один или два корня.

4+20a ≥ 0

a ≥ 1/5

2)
Если
(5/х)–3 < 0 ⇒x < 0 или x ≥ 5/3

|(5/x)–3|=–(5/x)+3

Уравнение принимает вид:

–(5/х)+3=ax–1


ax²–4x+5=0
x ≠ 0

D=16–4·a·5=16–20a

При D≥0 уравнение имеет один или два корня.

16–20a ≥ 0

a ≤ 4/5

Требованию задачи не менее трех корней ( значит одно уравнение имеет один корень, второе два или оба уравнения имеют по два корня) удовлетворяют значения a ∈[1/5; 4/5]