Задача 46564 y=(x^2-3)/(x+2) исследовать функцию и...

vk548014936

2020-04-09 21:55:08

y=(x^2-3)/(x+2) исследовать функцию и построить ее график

sova

2020-04-09 22:20:59

1) D(y)=(–∞;-2)U(-2;+ ∞)

точка x=-2 не входит в область определения

Находим пределы слева и справа:

f(-0)=lim_(x→(-2)-0)f(x)=- ∞
f(+0)=lim_(x→(-2)+0)f(x)=+ ∞

Они бесконечные, значит

х=-2 - [b]точка разрыва второго рода[/b]

Прямая х=-2 - [i]вертикальная асимптота.[/i]

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
у(-х)=((-х)^2-3)/(-x+2))=- (х^2-3)/(x-2)

y(-x)≠y(x)
y(-x)≠-y(x)


3)lim_(x→ +бесконечность))f(x)=+бесконечность
lim_(x→-бесконечность)f(x)=-бесконечность.

[i]Горизонтальных асимптот[/i] нет

4)
Наклонная асимптота это прямая y=kx+b

Находим

k=lim_(x→ ∞ )[m]\frac{x^2-3}{(x+2)\cdot x}[/m]=1

Находим

b=lim_(x→∞ )(f(x)-kx)=lim_(x→∞ ) (m]\frac{x^2-3}{x+2}[/m]-x)=

= lim_(x→ ∞ ) m]\frac{x^2-3-x^2-2x}{x+2}=-2[/m]

[b]y=x-2 [/b] - [i]наклонная асимптота.[/i]

5) f(x)=0
x^2-3=0
x= ± sqrt(3) - точка пересечения с осью Ох

f(0)=-3/2
Точка пересечения с осью Оу
(0;1,5)
[b]Исследование функции с помощью производной[/b]

6) (u/v)`=(u*v-u*v`)/v^2


y`=(2x(x=2)-x^2+3)/(x+2)^2

y`=(x^2+4x+3)/(x+2)^2

y`=0
x^2+4x+3=0

x=-;1; x=-3


Знак производной:
_____+_ (-3 ) __-__ (-2) __- ___ (-1) __+ _

x=-1 – точка [b]минимума[/b], производная меняет знак с – на +

y(-1)=-2

x=-3 – точка [b]максимума[/b], производная меняет знак с + на -

y(-3)=-6

y`>0 на ( - ∞ ; -3) и на (-1; + ∞ )
функция [b]возрастает[/b] на ( - ∞ ;-3) и на (-1; + ∞ )

y`<0 на (- 3 ; -2) и на (-2; -1 )
функция [b]убывает[/b] на (- 3 ; -2) и на (-2; -1 )


y``=((2x+4)*(x+2)^2-2(x+2)*(x^2+4x-3)/(x+2)^4

y``=(2x^2+8x+8-2x^2-8x-6)/(x+2)^3

y``=(2x^2+2)/(x+2)^3

y``>0 на (-2;+ ∞ )

y`` <0 на (- ∞ ;-2)

Функция [b]выпукла вниз [/b] на (-2;+ ∞ ) и выпукла вверх на (- ∞ ;-2)

Точек перегиба нет.