Задача 35900 5y"+9y-2y=f(x). a) f(x)=x^3-2x b)...

vk130176809

2019-04-16 07:55:31

5y"+9y-2y=f(x).

a) f(x)=x^3-2x
b) f(x)=25sin2x-3cos2x

sova

2019-04-16 15:14:53

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение
5y``+9y`+2y=0

Составляем характеристическое уравнение
5k^2+9k-2=0
D=81-4*5*(-2)=121
k_(1)=-2; k_(2)=0,2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_(одн)=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x)

[b]a)

f(x)=x^3-2x[/b]
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

f(x)- многочлен третьего порядка, значит
у_(част.)=ax^3+bx^2+cx+d

y`_(част)=3ax^2+2bx+c
y``_(част)=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

5*(6ax+2b)+9*(3ax^2+2bx+c)-2*(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3-2x

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
-2a=1
27a-2b=0
30a+18b-2c=-2
10b+9c-2d=0

a=-1/2
b=-27/4
c=217/2
d=3630/8

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)

[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x) -(1/2)x^3-(27/4)x^2+(217/2)x+(3630/8)[/b]

б)

f(x)=2sin2x-3cos2x

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.


у_(част.)=A*sin2x+Bcos2x
у`_(част.)=2A*cos2x-2Bsin2x
y``_(част.)=-4Аsin2x-4Bcos2x

5*(-4Аsin2x-4Bcos2x)+9*(2A*cos2x-2Bsin2x)-2*(A*sin2x+Bcos2x)=2sin2x-3cos2x

-22А-18В=2
-22В+18А=-3

Умножаем первое на 18, второе на 22 и складываем
(-324-484)B=36-66
B=30/808
A=-98/808

Общее решение данного неоднородного уравнения
-сумма у_(одн) и у_(част)
[b]y=C_(1)e^(-2x)+C_(2)e^(0,2x) -(98/808)sin2x+(30/808)cos2x[/b]