Задача 35900 5y"+9y-2y=f(x). a) f(x)=x^3-2x b)...

vk130176809

16 апреля 2019 г. в 07:55

5y"+9y–2y=f(x).

a) f(x)=x³–2x
b) f(x)=25sin2x–3cos2x

sova

16 апреля 2019 г. в 15:14

★

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение
5y``+9y`+2y=0

Составляем характеристическое уравнение
5k²+9k–2=0
D=81–4·5·(–2)=121
k₁=–2; k₂=0,2
два действительных различных корня

Общее решение однородного уравнения пишем по правилу
у_одн=C₁e^–2x+C₂e^0,2x

a)

f(x)=x³–2x
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.

f(x)– многочлен третьего порядка, значит
у_част.=ax³+bx²+cx+d

y`_част=3ax²+2bx+c
y``_част=6ax+2b

Подставляем в данное уравнение:

5·(6ax+2b)+9·(3ax²+2bx+c)–2·(ax³+bx²+cx+d)=x³–2x

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
–2a=1
27a–2b=0
30a+18b–2c=–2
10b+9c–2d=0

a=–1/2
b=–27/4
c=217/2
d=3630/8

Общее решение данного неоднородного уравнения
–сумма у_одн и у_част

y=C₁e^–2x+C₂e^0,2x –(1/2)x³–(27/4)x²+(217/2)x+(3630/8)

б)

f(x)=2sin2x–3cos2x

Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде,
похожем на правую часть.


у_част.=A·sin2x+Bcos2x
у`_част.=2A·cos2x–2Bsin2x
y``_част.=–4Аsin2x–4Bcos2x

5·(–4Аsin2x–4Bcos2x)+9·(2A·cos2x–2Bsin2x)–2·(A·sin2x+Bcos2x)=2sin2x–3cos2x

–22А–18В=2
–22В+18А=–3

Умножаем первое на 18, второе на 22 и складываем
(–324–484)B=36–66
B=30/808
A=–98/808

Общее решение данного неоднородного уравнения
–сумма у_одн и у_част
y=C₁e^–2x+C₂e^0,2x –(98/808)sin2x+(30/808)cos2x